一様重力下のロケット打ち上げ - 科学のおもちゃ箱@Hatena

下の記事でロケット方程式に至る解析とともに運動エネルギーの変化について考察したが、一様重力の下での鉛直打ち上げの解を導出する。
yokkun831.hatenablog.com

【問題】

一様な重力のもとで、下方に相対速度 $u$ で単位時間あたり質量 $\mu$ のガスを噴出しながら鉛直上方に進むロケットがある。ロケットの初めの質量を $m_0$ 、初速度を $0$ とすると時間 $t$ の後の速度と上昇高度はいくらか。

【解答】

微小時間 $dt$ における運動量‐力積関係は

$(m+dm)(v+dv) + (-dm)(v - u) = mv - mgdt$

整理すると

$dv = -u\displaystyle\frac{dm}{m} -g dt$

積分して

$v(t) = -u\ln\displaystyle\frac{m}{m_0} - gt = - u\ln\left(1 - \displaystyle\frac{\mu t}{m_0}\right) - gt$

$\int\log x dx = x\log x - x$ を用いると積分できて

$x(t) = u{\Big\{}t + \left(\displaystyle\frac{m_0}{\mu} - t\right)\cdot\ln\left(1 - \displaystyle\frac{\mu t}{m_0}\right){\Big\}} - \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$

を得る。

f:id:yokkun831:20220216114118p:plain — Polymathによる数値積分と解析解の比較