光のドップラー効果 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「かぎしっぽ」のQ&Aから
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光の（縦）ドップラー効果の計算です。（初稿2008/12/28）

観測者に対して，速さ $v$ で近づく光源から出る振動数 $\nu$ の光について，観測される振動数 $\nu^\prime$ を求める。

光源とともに動く座標 $(t,x)$ ，観測者の座標 $(t^\prime,x^\prime)$ とする。
$dt^\prime$ の間に放出される光波の長さは， $(c-v)dt^\prime$ だから，この光波が観測される時間は， $(c-v)dt^\prime/c$ である。この光波の中に $\nu^\prime dt^\prime = \nu dt$ 個の波が含まれるから，観測される振動数は
$\nu^\prime=\displaystyle\frac{c\nu dt}{(c-v)dt^\prime}$
ここで，
$dt^\prime = \gamma dt\,\,\, , \,\,\, \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\,\,,\,\,\beta=v/c$
を代入すれば，
$\nu^\prime = \displaystyle\frac{c\nu}{\gamma(c-v)} = \frac{\nu\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta} = \nu\sqrt\frac{1+\beta}{1-\beta}$
を得る。

ちなみに，光の（縦）ドップラー効果はエネルギーと運動量の4元ベクトルの変換を用いても簡単に導くことができる。

4元運動量ベクトル $(E/c,\boldsymbol{p})$ が， $(cdt,d\boldsymbol{x})$ と同じローレンツ変換に従うことから，
$E^\prime = \gamma(E - \beta pc)$
ここで， $E=h\nu,\,\,\,p=-h\nu/c$ を考慮して，
$h\nu^\prime = \gamma(1+\beta)h\nu$
となり，上と同じ結果を得る。