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光のドップラー効果

「かぎしっぽ」のQ&Aから
http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=22581&mode2=preview_pc
光の(縦)ドップラー効果の計算です。(初稿2008/12/28)


観測者に対して,速さvで近づく光源から出る振動数\nuの光について,観測される振動数\nu^\primeを求める。

光源とともに動く座標(t,x),観測者の座標(t^\prime,x^\prime)とする。
dt^\primeの間に放出される光波の長さは,(c-v)dt^\primeだから,この光波が観測される時間は,(c-v)dt^\prime/cである。この光波の中に\nu^\prime dt^\prime = \nu dt 個の波が含まれるから,観測される振動数は
\nu^\prime=\displaystyle\frac{c\nu dt}{(c-v)dt^\prime}
ここで,
dt^\prime = \gamma dt\,\,\, , \,\,\, \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\,\,,\,\,\beta=v/c
を代入すれば,
\nu^\prime = \displaystyle\frac{c\nu}{\gamma(c-v)} = \frac{\nu\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta} = \nu\sqrt\frac{1+\beta}{1-\beta}
を得る。

ちなみに,光の(縦)ドップラー効果はエネルギーと運動量の4元ベクトルの変換を用いても簡単に導くことができる。

4元運動量ベクトル (E/c,\boldsymbol{p}) が,(cdt,d\boldsymbol{x}) と同じローレンツ変換に従うことから,
E^\prime = \gamma(E - \beta pc)
ここで,E=h\nu,\,\,\,p=-h\nu/c を考慮して,
h\nu^\prime = \gamma(1+\beta)h\nu
となり,上と同じ結果を得る。