「物理のかぎしっぽ数式掲示板」というややハイレベルなQ&A掲示板がかつてあった。そこに次の質問が寄せられた。
「問題」
電気双極子:微小区間で並ぶ点電荷との組。これはイオン結合性分子など分子の分極を表すモデルに使われる。
双極子モーメント:に比べて十分に遠方の点Pでの電位を求めなさい。
※答えは
になるそうです。
次に電場を求めなさい。
※答えは
になるそうです。
この掲示板はかなり刺激的で,なかなかついていけない議論も多いが,これはなんとかできそう?
で,やってみた。
からまでのベクトルを,またとして,
による電位
による電位
したがって,
電場は電位の勾配をとればよいが,これがなかなか大変。
一般に,
すなわち,
となる。ただし,右辺は行列としての積をとるものとし,「」は直積を意味する。すなわち,
は定ベクトルであるから,結局
となる。の係数は,
であるから,
よって,
となる。(終わり)
(初稿2008/11/23)
【追記】
電場を求めるのにかっこつけてベクトル表記を駆使したが、実はデカルト座標成分に書き下ろせば全く簡単である。
(追記:2019/04/11)