ファインマンのトラス問題 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「物理のかぎしっぽ数式掲示板」に寄せられた質問から，「ファインマン物理学」の力学の演習にあるトラスの問題。
【問題】
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図のようなトラスで、対角線の支柱はみな5の長さ、水平の支柱はみな6の長さである。
つなぎめは蝶番でみな自由に動く。トラスの重さは無視できる。
a)　図のように荷をかけたとき、支柱のどれとどれは、針金で代用できるか。
b)　支柱BD,DEの内部にはたらく力を求めよ。

【解答】
本来，仮想仕事の原理の問題。しかし，a)ですべての力の正負を仮想仕事で判断するのはなかなか難しい。ファインマンダイヤグラムを発明するようなイメージの天才ならばまだしも。コツとしては，支柱の1本をばねに置き換えてEを下に引くとき，ばねが伸びるか縮むか…ということである。伸びる場合はもとの支柱内部の力は張力，縮む場合は抗力であったことになる。

いよいよとなれば，違反ではあるがつりあいから各連結が受ける力を求めるしかない。
連結点AおよびBが支柱ABから受ける張力を $T_{AB}$ のように表せば、
たとえば連結点Aにおいて，

$\displaystyle\frac{3}{5}T_{AB}+T_{AC}=0$
$\displaystyle\frac{1}{3}W+\frac{4}{5}T_{AB}=0$

といった具合に連立させて、順次求めていけば

$T_{AB}=-\displaystyle\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{AC}=\frac{1}{4}W\quad,\quad T_{BC}=\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{BD}=-\frac{1}{2}W$
$T_{CD}=-\displaystyle\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{CE}=\frac{3}{4}W\quad,\quad T_{DE}=\frac{5}{12}W\quad,\quad T_{DF}=-W$
$T_{EF}=\displaystyle\frac{5}{6}W\quad,\quad T_{EG}=\frac{1}{2}W\quad,\quad T_{FG}=-\frac{5}{6}W$

を得る。負になったものは抗力になるわけだ。
したがって，a)の答えは，張力が正であるAC,BC,CE,DE,EF,EGとなる。

せめて，b)は仮想仕事の原理をちゃんと使おう。
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BDを縮めると，C点が下がる。
そこで，CGの水平から下がった角度を $\it{\Delta}\theta$ とおくと，点Eの下がりは $h=6\it{\Delta}\theta$ 。
同時にDからCEにおろした垂線が $\it{\Delta}\theta$ 傾くので，これによるBDの縮みは $4\it{\Delta}\theta$ である。

一方，ACが水平から下がる角度は $2\it{\Delta}\theta$ となる。
同時にBからACにおろした垂線が $2\it{\Delta}\theta$ 傾くので，これによるBDの縮みは $8\it{\Delta}\theta$ 。
合計でBDは $12\it{\Delta}\theta$ 縮む。仮想仕事の原理により，求める抗力を $F$ とすると