棒でつながれた質点系の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

棒でつながれた質点系。なぜ円運動の方程式を使えるのか？　Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1187616916　より。
【問題】
なめらかな水平面上に，質量 $M$ の質点と質量 $m$ の2つの質点を軽くて伸び縮みしない長さ $l$ の棒でつないだものが置いてある。棒は接合部で自由に回転できるものとする。初期状態で質点は図のように一直線をなしている。真ん中の質点 $M$ に図のように右方向の初速度 $V_0$ を与えた。この直後の質点 $m$ が棒から受ける力の大きさはいくらか。

【解答】

$M$ から見た $m$ の運動を考えると，半径 $l$ ，速さ $V_0$ で左向きの円運動を始めるので，棒が $m$ を引く力を $T$ とすると

$T = \displaystyle\frac{m {V_0}^2}{l}$

となる。

ここで，質問者は

「 $m$ から見た $M$ の運動を考えると，やはり半径 $l$ ，速さ $V_0$ の円運動を始めるので，棒が $M$ を引く力は

$\displaystyle\frac{M {V_0}^2}{l}$

となり，棒が $M$ を引く力も棒が $m$ を引く力も等しいので， $m$ にはたらく棒からの力の大きさは $M {V_0}^2/l$ となり…」

と考えて混乱している。 $M$ が上下の棒から受ける力は等しいので，もちろんそのようにはならない。しかし，「 $m$ から見た $M$ の運動も円運動」というのは合っているから，どこからか「向心力」を受けなくてはならない。いったいどこから受けるというのだろうか？

その答えは「慣性力」である。

$M$ は，初速度を与えられた直後の瞬間には，棒から受ける合力はゼロだから，その加速度はゼロである。すなわち， $M$ から見る立場は慣性系のものであるから $m$ に対して円運動の方程式が成立する。ところが， $m$ は直後から $M$ 方向へ引かれて加速度を持つから， $m$ から見る立場は非慣性系のものである。したがって， $m$ から見た $M$ の運動方程式には，慣性力が入らなければならない。 $m$ の加速度は $M$ から離れる方向を正として

$a = -\displaystyle\frac{{V_0}^2}{l}$