連星系を記述する３つの運動方程式

質量 m_1, m_2 をもつ連星系を考える。
簡単のため、相互の距離 r=r_1+r_2 が変わらない円軌道としよう。以下の考察を一般の楕円軌道に応用することはさほど難しくないだろう。

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相対座標の運動方程式

最も簡明な記述は、相対座標の運動方程式である。
\mu r\omega^2 = \displaystyle\frac{Gm_1m_2}{r^2}
ただし、
\mu = \displaystyle\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}
は換算質量である。これを適用すると、
r\omega^2 = \displaystyle\frac{G(m_1+m_2)}{r^2}
という興味深い表式になる。

重心系による運動方程式

重心系が慣性系であれば、重心系による記述は最も素直なものとなる。
m_1r_1\omega^2 = \displaystyle\frac{Gm_1m_2}{r^2}
m_2r_2\omega^2 = \displaystyle\frac{Gm_1m_2}{r^2}

ただし、
r_1 = \displaystyle\frac{m_2r}{m_1+m_2}
r_2 = \displaystyle\frac{m_1r}{m_1+m_2}
は重心からの距離である。
これを適用すれば相対座標の運動方程式と全く同じであることは明らかだ。

一方から他方を見た相対運動の方程式

重心系が慣性系であっても、一方とともに並進する座標系は非慣性系である。
したがって、運動方程式には慣性力が必要となる。
たとえば、１から見た２の運動方程式は
m_2r\omega^2 = \displaystyle\frac{Gm_1m_2}{r^2} + m_2 \frac{m_2r}{m_1+m_2} \omega^2
となる。
慣性力は見る立場１の加速度と逆向きだから２が受ける万有引力と同じ向きになる点に留意しよう。
これもまた、上の２つと全く同じ方程式を与えることはすぐにわかるだろう。

これは「回転系」ではない点に留意したい。あくまで原点が１とともに円運動する「並進系」である。

以上のように、いずれの立場でも得られる方程式は同じものである。
つまり、「立場の違い」は同じ方程式の解釈の違いに過ぎないことがわかる。