円錐面に束縛された質点の運動その２

円錐面に束縛された質点の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

で円錐面内に束縛された質点の運動について考察したが、定常な等速円運動の途中で r 方向に微小な撃力を加えた場合の運動について考える。


ラグランジアンは

L = \displaystyle\frac{1}{2}m\{{\dot{r}}^2 + (r\sin\theta\cdot\dot{\phi})^2\} - mgr\cos\theta

運動方程式は

\ddot{r} = r\sin^2\theta\cdot\dot{\phi}^2 - g\cos\theta　…①
r^2\sin^2\theta\cdot\dot{\phi} = h = {\rm const.}　…②

となるのであった。

高校レベルで登場するように、この特殊解として等速円運動がある。
定常な等速円運動の半径を r_0、角速度を \Omega とすれば①は

0 = r_0\sin^2\theta\cdot\Omega^2 - g\cos\theta　…③

これは、等速円運動の方程式であり、半径 r_0 と角速度 \Omega の関係を表す。

この等速円運動の途中で r 方向に微小な撃力を加えた場合、その後の運動について考察する。r = r_0 + \rho とおいて \rho のふるまいを調べる。

撃力は中心力だから②はそのまま成立する。
r = r_0 + \rho を②に適用すると
(r_0+\rho)^2\sin^2\theta\cdot\dot{\phi} = r_0^2\sin^2\theta\cdot\Omega= h
したがって、
\dot{\phi} = \left(1+\displaystyle\frac{\rho}{r_0}\right)^{-2}\Omega
を得る

さらに①に適用して
\ddot{\rho} = (r_0+\rho)\sin^2\theta\left(1+\displaystyle\frac{\rho}{r_0}\right)^{-4}\Omega^2 - g \cos\theta

③および
\left(1+\displaystyle\frac{\rho}{r_0}\right)^{-4} \simeq 1 - \displaystyle\frac{4\rho}{r_0}
の近似を用いれば、
\ddot{\rho} = - 3\Omega^2\sin^2\theta\cdot\rho
という単振動の方程式を得る。