回転の記述と軸性ベクトル(4)

回転の記述と軸性ベクトル(3)までの議論で,角速度は回転軸方向を向く軸性ベクトルとして定義されるが,その本質は2階反対称テンソルの「代用」であることを示した。それに対して磁場が軸性ベクトルであるとはどういうことなのか考察してみる。

(4) 磁場の軸性とは何か?

検索してみると,まさにこのテーマにそった良質の議論を10年前のOKWave>http://okwave.jp/qa/q202443.html#answerにみつけることができた。ここをカンニングしながらまとめてみたい。

上記の回答でとりわけ秀逸なNo.1(hagiwara_m氏)はそのまま引用させていただく。

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ベクトル量の鏡映対称の変換の規則の問題ですが、これは単にあるベクトルを眺めていて決められるものではなく、色々な物理量ベクトルの物理的相互関係により判断することになります。鏡映したときに、物理的に起こることが同じになるような変換則を採用するわけです。

出発点となる拠り所は実空間の位置概念です。鏡像の世界を考えると、あらゆる物の配置が鏡映されますから、位置・変位ベクトル、続いて定義されていく速度、加速度、力、さらに派生する、電流、クーロン電場などは、正に図形としての矢印のように、各点の位置といっしょに鏡映して考えればいいことが確信されます。これらが極性ベクトル(普通のベクトル)です。

ところが、例えば環電流の内側に発生する磁束密度Bの向きは、電流の回転の向き(右巻きか左巻きか)で決まります。鏡映によってこの右巻き左巻きが逆になりますが、対するBの向きはどうでしょう。これをイメージするのには、(右ネジの法則を考えるとき使う)手の(人指~小)指の巻く向きとそれに垂直に立つ親指の向きで考えるといいでしょう。親指の先を向かい合わせるように、あるいは、両親指を上に向けるように、両手を鏡像の位置に置いてみて下さい。これが図形的な鏡映関係ですが、親指の向きをBの向きと考えると、右手は右手の法則、左手は左手の法則になってしまい、鏡像の世界で電磁気の法則が成立ちません。鏡像の環電流をつくっても、そこでもやはり右手の法則でBの向きがきまるように考えなければならないのです。このとき、Bは図形としての矢印を鏡映したような変換にしたがいません。このBのようなベクトルが軸性ベクトルです。

こうしたことは、磁束(密度)が、電荷運動や電場の回転に対応づけられる量であることに起因して起こります。ます。一般に、極性ベクトルの外積(あるいは回転)で定義されるベクトルは、軸性ベクトルになります。

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hagiwara_m氏はこのあと回答No.2で,よく使われる空間反転(パリティ変換)と鏡映の違いについて述べ,「パリティ変換は、対称面の選び方が複数あるという煩わしさを伴わないので、数学的な扱いが、鏡映の場合よりむしろすっきりするようです。」と補足している。

続く回答No.3~5のsiegmund氏も基本的にhagiwara_m氏に追随しているが,磁場の軸性についてビオ・サバールの法則を根拠とした説明を試みている。これはもちろん,hagiwara_m氏の「電荷運動や電場の回転に対応づけられる」という定性的な説明の定量化をしたものである。

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\boldsymbol{B}も,電流素片 Id\boldsymbol{s} が場所 \boldsymbol{r} に作る微小な \boldsymbol{B}

$$d\boldsymbol{B}(r) = \frac{\mu_0Id\boldsymbol{s}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|^3}$$

というように決めていますので(ビオ・サバールの法則)位置ベクトルの \boldsymbol{r},\boldsymbol{s} の変換性から,d\boldsymbol{B} が軸性ベクトルになることはすぐわかります。

…(中略)

ビオ・サバールの法則をベクトルポテンシャルで表現すると

$$d\boldsymbol{A}(r) = \frac{\mu_0 Id\boldsymbol{s}}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|}$$

です。直接 d\boldsymbol{B} を表現するよりずっと簡単ですね。
d\boldsymbol{A} は明らかに極性ベクトル,したがってベクトルポテンシャル \boldsymbol{A} も極性ベクトルです。\boldsymbol{B} = \nabla\times \boldsymbol{A} ですから,これが例になっていますかね。一般に,極性ベクトルの rot は軸性ベクトルです。

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上記のような関係は,Maxwell方程式とも符合する。

$$\nabla \times \boldsymbol{E} = - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$$

$$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu _{0}\boldsymbol{J} + \mu_{0}\varepsilon _{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$$

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回転の記述と軸性ベクトル(5)
http://yokkun831.hatenablog.com/entry/2018/11/01/110247

へ続く

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(初稿:2012/01/30)