ばねで連結された２質点の縦振動

振動

オーソドックスな連成振動の問題。

【問題】

下図のように質量 m の質点２個が，ばね定数 k のばね３本に引かれている。この系の縦振動（ばねの方向の振動）について考察せよ。ばねの自然長は l_0 ，平衡長は l とし，重力など他の外力は無視できるものとする。

(1) 運動方程式を立てて，モード（規準振動）の角振動数を求めよ。

(2) 各モードにおける振幅の関係を求め，一般解を導出せよ。

f:id:yokkun831:20220119102632j:plain

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=423&file=Ex55.phz

【解答】

(1)

運動方程式は，

m\ddot{x_1} = -kx_1 + k(x_2-x_1) = -k(2x_1-x_2)
m\ddot{x_2} = -k(x_2-x_1) - kx_2 = -k(2x_2-x_1)

x_1=a_1\cos\omega t,x_2=a_2\cos\omega t とおくと，

(2{\omega_0}^2-\omega^2)a_1 - {\omega_0}^2a_2 = 0
-{\omega_0}^2a_1 + (2{\omega_0}^2-\omega^2)a_2 = 0

ただし，

\omega_0 = \displaystyle\sqrt\frac{k}{m}

２式が同じ振幅比を与えるためには，

(2{\omega_0}^2-\omega^2)^2 - {\omega_0}^4 = 0 \qquad \therefore \omega = \omega_0,\sqrt 3 \;\omega_0

である。

(2)

\omega=\omega_0 のとき，a_2/a_1=1

\omega=\sqrt 3 \;\omega_0 のとき，a_2/a_1 = -1

したがって，一般解は

x_1 = a\cos\omega_0 t +b\cos\sqrt 3 \;\omega_0 t
x_2 = a\cos\omega_0 t -b\cos\sqrt 3 \;\omega_0 t

となる。

f:id:yokkun831:20220119103611j:plain
上：b=0　下：a=0
※　Algodooシーンの設定は，
m=1.0{\rm kg},k=10{\rm N/m},l_0=3.0{\rm m},l=4.0{\rm m}
である。
youtu.be


（初稿：2010/08/21）