2方向に復元力をもつ振動系 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質量 $m$ の質点が原点をつり合い位置とし、ばね定数 $k$ の十分に長い２つのばねで $x$ 軸からの角度180°および300°方向に支持され、 $x{\rm -}y$ 平面内で微小振動する。この2自由度系に対する固有振動を考察する。

微小変位においてばねの弾性力はその方向が変わらないものと近似する。
運動方程式は
$m\ddot{x} = -\displaystyle\frac{5}{4}kx + \frac{\sqrt{3}}{4}ky\\ m\ddot{y} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}kx + \frac{3}{4}ky$

行列表示すると
$\displaystyle\frac{d^2}{dt^2}\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right) = - \displaystyle\frac{k}{4m}\left(\begin{matrix} \quad \,\, 5\quad -\sqrt{3}\\-\sqrt{3}\quad \quad 3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$
略記して
$\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = - \Omega^2\boldsymbol{r}$

固有値方程式
$(5 - \lambda)(3 - \lambda) - 3 = 0$ 　⇒　 $\lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0$ 　⇒　 $(\lambda - 2)(\lambda - 6) = 0$ 　⇒　 $\lambda=2,6$
より、
$\lambda = 2$ に対する固有ベクトル $\left(\begin{matrix}1\\\sqrt{3}\end{matrix}\right)$
$\lambda = 6$ に対する固有ベクトル $\left(\begin{matrix}\sqrt{3}\\-1\end{matrix}\right)$
したがって、対角化行列
$T = \left(\begin{matrix}\,\,1\quad\,\,\,\, \sqrt{3}\\\sqrt{3}\quad -1\end{matrix}\right)$
を得る。

$T \displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = - T\Omega^2\boldsymbol{r} = - {\Omega^\prime}^2T\boldsymbol{r}$
となる ${\Omega^\prime}^2$ は、
${\Omega^\prime}^2 = T\Omega^2T^{-1} = \left(\begin{matrix}2\quad 0\\0\quad 6\end{matrix}\right)$
となり、規準座標の運動方程式

$\displaystyle\frac{d²}{dt²}\left(\begin{matrix}x + \sqrt{3} y\\\sqrt{3} x - y\end{matrix}\right) = -\displaystyle\frac{k}{2m}\left(\begin{matrix}1\quad 0\\0\quad 3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x + \sqrt{3} y\\\sqrt{3} x - y\end{matrix}\right)$