無限衝突ボールの確率密度 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

あるゴムボールが反発係数１で永久に床面を弾んでいるとする。最大高さを $h$ 、高さを $y$ （ $0\le y \le h$ ）として、 $y$ に対する存在確率密度を求めよ。

高さ $y$ における速さ $v$ とすると力学的エネルギー保存

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = mg(h - y)$

により上昇の片道に対して

$v = \displaystyle\frac{dy}{dt} = \sqrt{2g(h - y)}$

となり、 $y$ ～ $y+dy$ に対する滞在時間

$dt = \displaystyle\frac{dy}{\sqrt{2g(h - y)}}$

を得る。

片道時間 $T$ とすると

$\displaystyle\frac{1}{2}gT^2 = h$

だから

$T = \displaystyle\sqrt{\frac{2h}{g}}$

$y$ ～ $y+dy$ にいる時間的割合は

$\displaystyle\frac{dt}{T} = \frac{dy}{\sqrt{2g(h - y)}\cdot\sqrt{2h/g}} = \frac{dy}{2\sqrt{h(h - y)}}$

となる。

$f(y) = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{h(h - y)}}$

が確率密度関数となり、 $y_1 \le y \le y_2$ に存在する確率は

$P(y\in [y_1,y_2]) = \displaystyle\int_{y_1}^{y_2} f(y) dy$

となる。