ばね振り子の途中分裂

振動

Q&Aサイトでみつけた問題

【問題】

ばね定数 k のばねの先に 質量 2m の質点を固定し、鉛直につるした状態で自然長位置からおもりを静かに放した。振動中心から振幅の半分だけ下がった時点でおもりが相対速度０で半分に分裂し、残りの半分が単振動を続けた。分裂前の振動中心から最下点までの距離を求めよ。ただし、ばねの質量、空気抵抗は無視できるものとする。

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Algodooシーンのダウンロード
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/314/1506/tochu-de-wareru-banehuriko.phz


【解答】

分裂前の振幅は

a = \displaystyle\frac{mg}{k}

である。分裂時の速さを v とすると、単振動のエネルギー保存

\displaystyle\frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}k\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}2mv^2

より

mv^2 = \displaystyle\frac{3}{8}ka^2

分裂後の振幅を b とすると、新しい振動中心は a/2 だけ上にずれていることを考慮して、単振動のエネルギー保存より

\displaystyle\frac{1}{2}kb^2 = \frac{1}{2}ka^2 + \frac{1}{2}mv^2

上の結果を適用して

b = \displaystyle\sqrt{\frac{11}{8}} a

を得る。求める距離は

b - \displaystyle\frac{a}{2} = \left(\sqrt{\frac{11}{8}} - \frac{1}{2}\right) a = \left(\sqrt{\frac{11}{8}} - \frac{1}{2}\right) \frac{mg}{k}

となる。

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www.youtube.com

Algodooシミュレーションでは、分裂でなく「キラー」を設定して、下の質点を消している。