水風船の振幅が2倍となる振動数 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

シンプルな難問？
【問題】
水風船の振幅が手の振幅の2倍となるような手の動きの振動数を求めよ。

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手の振動を上向き正として
$X = X_0 \sin\omega t$
とする。
手が振動中心にあるときのつり合い位置を原点として重力をキャンセルすると、
運動方程式は
$m\ddot{x} = - k(x - X_0\sin\omega t)$
すなわち
$\ddot{x} + {\omega_0}^2 x = {\omega_0}^2X_0\sin\omega t$
ただし、 $\omega_0 = \displaystyle\sqrt\frac{m}{k}$

任意の初期条件において定常振動が起こるためには減衰がなければならないが、減衰は小さいとして題意を得るには減衰０の定常解の考察で十分であろう。

解として $x=a\sin\omega t$ を仮定すれば
$({\omega_0}^2 - \omega^2)a = {\omega_0}^2X_0$
$a = ±2X_0$ に対して
$\omega = \displaystyle\frac{1}{\sqrt2}\omega_0, \sqrt\frac{3}{2}\omega_0$
を得る。