変位による強制振動

振動

自然長 L、ばね定数 k のばねの先に質量 m の質点がついたばね振り子の左端が
x = a\sin\omega t
にしたがって振動を始めるとき、質点の運動エネルギーの長時間平均を求む。


運動方程式

\ddot{\xi} + \Omega^2\xi = \Omega^2a\sin\omega t
ただし、質点の位置 x に対して \xi = x - L,\qquad \Omega=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}

\xi = \xi_0\sin\omega t を仮定すると

\xi_0 = \displaystyle\frac{\Omega^2a}{\Omega^2 - \omega^2}

とする特殊解を得る。

同次方程式の一般解を加えて初期条件を考慮すれば

\xi = B\sin\Omega t + \xi_0\sin\omega t
ただし、B = -\displaystyle\frac{\omega\xi_0}{\Omega}

速度は

\dot\xi = B\Omega\cos\Omega t + \xi_0\omega\cos\omega t

{\dot\xi}^2 を計算し、長時間平均をとれば、

<\displaystyle\frac{1}{2}m{\dot\xi}^2> = \frac{m}{4}\cdot(B^2\Omega^2+{\xi_0}^2\omega^2) = \frac{m}{2}\cdot\left(\frac{a\omega\Omega^2}{\Omega^2 - \omega^2}\right)^2

を得る。

Algodooシーンのダウンロード
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/187/1513/heni-ni-yoru-kyousei-shindou.phz

※ Algodooシミュレーションでは、大きな質量と強いばねで近似的に左端の周期変位をつくっている。