微分演算子とベクトルの直積 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

物理のかぎしっぽ-物理数学-合成関数の微分への利用（現在ページはリンクが切れている）の練習問題(18)に微分演算子とベクトルの直積が出てくる。 $\nabla \boldsymbol{r}$ という記述はなれないといささか気持ちが悪いので，直積の記号「 $\circ$ 」を用いて $\nabla\circ\boldsymbol{r}$ と書けば紛れがないかもしれない。

$\nabla \boldsymbol{r} = \nabla\circ\boldsymbol{r} = \begin{pmatrix}\bigtriangledown_x\\\bigtriangledown_y\\\bigtriangledown_z\end{pmatrix} \begin{matrix}(x\,y\,z)\\ \\ \\\end{matrix} = \left(\begin{matrix}\;1\;0\;0\\\;0\;1\;0\\\;0\;0\;1\end{matrix}\right) = \bf{1}$

成分表示では次のようになる。

$[\nabla \boldsymbol{r}]_{ij} = \bigtriangledown_i x_j = \delta_{ij} = \displaystyle{ 1 \;(i=j) \atopwithdelims\{. 0 \;(i \neq j)}$

似て非なる３つを並べてみる。

$\nabla r = \begin{pmatrix}\bigtriangledown_xr\\\bigtriangledown_yr\\\bigtriangledown_zr\end{pmatrix} = \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r}$

$\nabla\cdot\boldsymbol{r} = \begin{matrix}(\bigtriangledown_x\,\bigtriangledown_y\,\bigtriangledown_z)\\ \\ \\\end{matrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = 3$

$\nabla\circ\boldsymbol{r} = \begin{pmatrix}\bigtriangledown_x\\\bigtriangledown_y\\\bigtriangledown_z\end{pmatrix} \begin{matrix}(x\,y\,z)\\ \\ \\\end{matrix} = \bf{1}$

（初稿：2008/11/24）