円錐面に束縛された質点の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

高校レベルで等速円運動の例題として扱われる、円錐面内の運動。円運動を仮定せずに有効ポテンシャルを用いて考察する。

$L = \displaystyle\frac{1}{2}m\{{\dot{r}}^2 + (r\sin\theta\cdot\dot{\phi})^2\} - mgr\cos\theta$

$\ddot{r} = r\sin^2\theta\cdot\dot{\phi}^2 - g\cos\theta$
$r^2\sin^2\theta\cdot\dot{\phi} = h = {\rm const.}$

第2式は角運動量保存である。これを用いて $r$ に関する1次元運動と解釈すれば、有効ポテンシャルは

$U_{\rm{eff}}(r) = -\displaystyle\frac{h^2}{2r^2\sin^2\theta} + gr\cos\theta$

$\displaystyle\frac{{\rm d}U_{\rm{eff}}}{{\rm d}r} = 0$ により、等速円運動に見合う位置
$r_0 = \left(\displaystyle\frac{h^2}{g\sin^2\theta\cos\theta}\right)^{1/3} = \displaystyle\frac{{v_0}^2}{g\cos\theta}$
を得る。

エネルギー $E$ が決まれば、運動領域は塗りつぶし部分に限られる。初速度に見合うちょうどよい位置を選べばそのまま等速円運動になるが、そうでない場合はそのまわりを振動することになる。

参考：
円錐面に束縛された質点の運動その２ - 科学のおもちゃ箱@Hatena