のり付け法による遊星歯車の解析 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「のり付け法」なるものを知った。遊星歯車において、アームの回転と歯車の回転を分離して考察し、それを合成することで歯数と回転数の関係を得る。

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A,B,C（歯数 $Z_A,Z_B,Z_C$ ）の歯車が３つ組まれてアームMとともに回転する。AとMの回転数 $n_A, n_M$ が与えられたとき、 $n_B,n_C$ を求めたい。

そこで、次のような表をつくる。
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & A & B & C & M \\ \hline 歯車固着 & n_M & n_M & n_M & n_M \\ \hline アーム固定 & n_A - n_M & -(n_A - n_M)\displaystyle\frac{Z_A}{Z_B} & (n_A - n_M)\displaystyle\frac{Z_A}{Z_C}& 0 \\ \hline 合成結果 & n_A & n_M - (n_A - n_M)\displaystyle\frac{Z_A}{Z_B} & n_M + (n_A - n_M)\displaystyle\frac{Z_A}{Z_C} & n_M \\ \hline\end{array}$

つまり、アームの回転とアームに対する歯車の回転とを分離考察して、合成するというわけだ。なるほど。

追加の問題として、Bを固定した場合のA,Cの回転数の比を求める。

$n_B = n_M - (n_A - n_M)\displaystyle\frac{Z_A}{Z_B} = 0$
より、
$n_A = \displaystyle\frac{Z_A+Z_B}{Z_A} n_M\\n_C = \displaystyle\frac{Z_B+Z_C}{Z_C} n_M$
したがって、
$\displaystyle\frac{n_C}{n_A} = \frac{Z_A(Z_B+Z_C)}{Z_C(Z_A+Z_B)}$
を得る。