等速回転系の直交座標による記述 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】
中空の直線チューブが原点Oを中心に角速度 $\omega$ で回転し、その中を質量 $m$ の質点が滑らかに移動している。質点が内側の壁から受けた垂直抗力は $\boldsymbol{N}$ であった。回転座標系 $\rm{O}-\xi\eta$ での質点の運動方程式をたてよ。

回転する棒上のリングの運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
において考察したものと同じだが、回転系に移っている点が異なる。

$\boldsymbol{e}_\xi, \boldsymbol{e}_\eta$ を回転座標系 $\rm{O}-\xi\eta$ の基本ベクトルとする。

$\boldsymbol{r} = \xi\boldsymbol{e}_\xi + \eta\boldsymbol{e}_\eta$

$\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{\xi}\boldsymbol{e}_\xi + \xi\dot{\boldsymbol{e}_\xi} + \dot{\eta}\boldsymbol{e}_\eta + \eta\dot{\boldsymbol{e}_\eta}\\ = \dot{\xi}\boldsymbol{e}_\xi + \omega\xi\boldsymbol{e}_\eta + \dot{\eta}\boldsymbol{e}_\eta - \omega\eta\boldsymbol{e}_\xi\\ = (\dot{\xi} - \omega\eta)\boldsymbol{e}_\xi + (\dot{\eta} + \omega\xi)\boldsymbol{e}_\eta$

$\ddot{\boldsymbol{r}} = (\ddot{\xi} - \omega\dot{\eta})\boldsymbol{e}_\xi + (\dot{\xi} - \omega\eta)\dot{\boldsymbol{e}_\xi} + (\ddot{\eta} + \omega\dot{\xi})\boldsymbol{e}_\eta + (\dot{\eta} + \omega\xi)\dot{\boldsymbol{e}_\eta}\\ = (\ddot{\xi} - \omega\dot{\eta})\boldsymbol{e}_\xi + (\dot{\xi} - \omega\eta)\omega\boldsymbol{e}_\eta + (\ddot{\eta} + \omega\dot{\xi})\boldsymbol{e}_\eta - (\dot{\eta} + \omega\xi)\omega\boldsymbol{e}_\xi\\ = (\ddot{\xi} - 2\omega\dot{\eta} - \omega^2\xi)\boldsymbol{e}_\xi + (\ddot{\eta} + 2\omega\dot{\xi} - \omega^2\eta)\boldsymbol{e}_\eta$