地球貫通トンネル問題で、地球内部の位置エネルギーを直接万有引力の位置エネルギーの考察によって導出できないかという質問に対する回答。
位置によって万有引力の源となる質量が変わるのでそうはいかないのです。
そもそも万有引力による位置エネルギーの形式は、距離の2乗に反比例する引力のものですが、源となる質量が変わってしまえばそれも成立しなくなり、力自体が距離に比例する引力となってしまうのですから、根本的に見直さなくてはならないわけです。
地球内外の位置エネルギーを原点基準でつなぐことは可能です。地球外の万有引力による位置エネルギーをもちあげて、復元力の位置エネルギーに滑らかにつなぎます。位置エネルギーの基準は任意であり、その変化分だけが意味をもつので、連結した位置エネルギーを用いれば地球内外の引力をすべて網羅します。
図の赤が無限遠基準の万有引力による位置エネルギー。これをもちあげて地球内の復元力の位置エネルギーをつないだものが緑の曲線です。
※グラフではr=1が地球表面
