傾いて回転する平面上の質点の運動

回転系
【問題】

滑らかな平面がその上の点Oで交わる鉛直線(鉛直線と平面との間の角は任意)のまわりに一定の角速度 \omega で回転している。この平面に束縛された質点が点Oから初速度0で動き出す。この時回転軸から r、点Oから鉛直下方に h だけ低い高さにあるときの平面に相対的な速さが V^2=2gh+r^2\omega^2 で表せることを示せ。
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【解答】

平面が水平面となす角 \theta とし、Oを原点として平面上の x 軸を最大下り勾配方向にとる。また、質点が位置 (x,y) にあるとき、位置ベクトル \boldsymbol{\rho} と水平面のなす角を\alpha とする。\alpha は平面上での質点の位置の変化によって -\theta \le \alpha \le \theta をとる。位置 (x,y) における平面の角速度は、\omega \cos\alpha となる。地表座標系での考察が応用できる。

地表座標系 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

x 方向の運動方程式

m\ddot{x} = mg \sin\theta + m\rho\omega^2\cos^2\alpha\cdot x/\rho + 2m\omega\cos\theta\cdot \dot{y}

y 方向の運動方程式

m\ddot{y} = m\rho\omega^2\cos^2\alpha\cdot y/\rho - 2m\omega\cos\theta\cdot \dot{x}

ただし、\rho = \sqrt{x^2+y^2}

\dot{x}\ddot{x} + \dot{y}\ddot{y} = g \sin\theta\cdot \dot{x} + \omega^2\cos^2\alpha(x\dot{x}+y\dot{y})

積分して

\dot{x}^2+\dot{y}^2 = 2g \sin\theta\cdot x + \omega^2\cos^2\alpha (x^2+y^2)

したがって、

V^2 = 2gh + r^2\omega^2

を得る。