運動座標系のシステマティックな導出(2)

3次元極座標系への応用を検討する。

3次元極座標

$\qquad$
まず，座標変換
$x = r\sin\theta\cos\phi\\ y = r\sin\theta\sin\phi\\ z = r\cos\theta$
を微分して，
$dx = dr\sin\theta\cos\phi + rd\theta\cos\theta\cos\phi - r\sin\theta d\phi\sin\phi\\ dy = dr\sin\theta\sin\phi + rd\theta\cos\theta\sin\phi + r\sin\theta d\phi\cos\phi\\ dz = dr\cos\theta - rd\theta\sin\theta$
すなわち，
$\left(\begin{array}{ccc}dx\\dy\\dz\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\sin\theta\cos\phi \qquad \cos\theta\cos\phi \quad -\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi \qquad \cos\theta\sin\phi \qquad \cos\phi \\ \cos\theta \qquad\quad -\sin\theta \qquad\qquad 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll}dr\\rd\theta\\r\sin\theta d\phi\end{array}\right)$
ここで，
$d\boldsymbol{r} = dr\boldsymbol{e}_r + rd\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi$
であるから，
$\left(\begin{matrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi\end{matrix}\right) = \boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}A_x\\A_y\\A_z\end{matrix}\right) \quad,\qquad \boldsymbol{\mathcal{R}}=\left(\begin{matrix}\sin\theta\cos\phi \quad \sin\theta\sin\phi \qquad \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi \quad \cos\theta\sin\phi \quad -\sin\theta \\ \,\, -\sin\phi \qquad\quad \cos\phi \qquad \quad 0\end{matrix}\right)$
これが，ベクトル成分の変換ということになる。左辺は左手系に移っているから， $\boldsymbol{\mathcal{R}}$ には反転が含まれることに留意したい。

次に基底の時間微分だが，
$\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right) = \boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{matrix}\right)$
を微分して，
$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \dot{\boldsymbol{\mathcal{R}}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{matrix}\right) = \dot{\boldsymbol{\mathcal{R}}}\,^t\boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$
によって導出できる。ただし， $^t\boldsymbol{\mathcal{R}}$ は $\boldsymbol{\mathcal{R}}$ の転置である。しかし，この計算はかなり煩雑になる。そこで，微小回転 $d\theta,d\phi$ による基底の変化を，直接調べてみよう。

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結果は，
$d\boldsymbol{e}_r = d\theta \boldsymbol{e}_\theta + \sin\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi\\ d\boldsymbol{e}_\theta = -d\theta\boldsymbol{e}_r + \cos\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi\\ d\boldsymbol{e}_\phi = -d\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_r - d\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_\theta$
したがって，
$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$
となる。反対称で簡単な結果から見ると，さらにエレガントな導出の方法があるように見える。これは，今後の宿題としよう。これを用いて速度，加速度を求める。
$\boldsymbol{r} = r\boldsymbol{e}_r$
時間微分すると，速度
$\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + r \dot{\boldsymbol{e}}_r = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$
を得，さらにもう一度微分すると，加速度
$\ddot{\boldsymbol{r}} = (\ddot{r}-r{\dot\theta}^2-r{\dot{\phi}}^2\sin^2\theta)\boldsymbol{e}_r+(2\dot{r}\dot\theta+r\ddot\theta-r{\dot\phi}^2\sin\theta\cos\theta)\boldsymbol{e}_\theta\\+\{(2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot\phi)\sin\theta+2r\dot\theta\dot\phi\cos\theta\}\boldsymbol{e}_\phi$
を得る。

運動座標系のシステマティックな導出(3) - 科学のおもちゃ箱@Hatena
に続く。
（初稿：2010.04.18）