運動座標系のシステマティックな導出(2)

3次元極座標系への応用を検討する。

3次元極座標

\qquad
まず,座標変換
$$x = r\sin\theta\cos\phi\\
y = r\sin\theta\sin\phi\\
z = r\cos\theta$$
微分して,
$$dx = dr\sin\theta\cos\phi + rd\theta\cos\theta\cos\phi - r\sin\theta d\phi\sin\phi\\
dy = dr\sin\theta\sin\phi + rd\theta\cos\theta\sin\phi + r\sin\theta d\phi\cos\phi\\
dz = dr\cos\theta - rd\theta\sin\theta$$
すなわち,
$$\left(\begin{array}{ccc}dx\\dy\\dz\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\sin\theta\cos\phi \qquad \cos\theta\cos\phi \quad -\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi \qquad \cos\theta\sin\phi \qquad \cos\phi \\ \cos\theta \qquad\quad -\sin\theta \qquad\qquad 0\end{array}\right)
\left(\begin{array}{lll}dr\\rd\theta\\r\sin\theta d\phi\end{array}\right)$$
ここで,
$$d\boldsymbol{r} = dr\boldsymbol{e}_r + rd\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\sin\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi$$
であるから,
$$\left(\begin{matrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi\end{matrix}\right) = \boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}A_x\\A_y\\A_z\end{matrix}\right) \quad,\qquad \boldsymbol{\mathcal{R}}=\left(\begin{matrix}\sin\theta\cos\phi \quad \sin\theta\sin\phi \qquad \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi \quad \cos\theta\sin\phi \quad -\sin\theta \\ \,\, -\sin\phi \qquad\quad \cos\phi \qquad \quad 0\end{matrix}\right)$$
これが,ベクトル成分の変換ということになる。左辺は左手系に移っているから,\boldsymbol{\mathcal{R}}には反転が含まれることに留意したい。

次に基底の時間微分だが,
$$\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right) = \boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{matrix}\right)$$
微分して,
$$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \dot{\boldsymbol{\mathcal{R}}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_x\\\boldsymbol{e}_y\\\boldsymbol{e}_z\end{matrix}\right) = \dot{\boldsymbol{\mathcal{R}}}\,^t\boldsymbol{\mathcal{R}}\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$$
によって導出できる。ただし,^t\boldsymbol{\mathcal{R}}\boldsymbol{\mathcal{R}}の転置である。しかし,この計算はかなり煩雑になる。そこで,微小回転d\theta,d\phiによる基底の変化を,直接調べてみよう。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=381&file=polar3.bmp)
結果は,
$$d\boldsymbol{e}_r = d\theta \boldsymbol{e}_\theta + \sin\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi\\
d\boldsymbol{e}_\theta = -d\theta\boldsymbol{e}_r + \cos\theta d\phi\boldsymbol{e}_\phi\\
d\boldsymbol{e}_\phi = -d\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_r - d\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_\theta$$
したがって,
$$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$$
となる。反対称で簡単な結果から見ると,さらにエレガントな導出の方法があるように見える。これは,今後の宿題としよう(運動座標系のシステマティックな導出(3))。これを用いて速度,加速度を求める。
$$\boldsymbol{r} = r\boldsymbol{e}_r$$
時間微分すると,速度
$$\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + r \dot{\boldsymbol{e}}_r = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$$
を得,さらにもう一度微分すると,加速度
$$\ddot{\boldsymbol{r}} = (\ddot{r}-r{\dot\theta}^2-r{\dot{\phi}}^2\sin^2\theta)\boldsymbol{e}_r+(2\dot{r}\dot\theta+r\ddot\theta-r{\dot\phi}^2\sin\theta\cos\theta)\boldsymbol{e}_\theta\\+\{(2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot\phi)\sin\theta+2r\dot\theta\dot\phi\cos\theta\}\boldsymbol{e}_\phi$$
を得る。

(初稿:2010.04.18)