光行差の公式の導出

相対論

「Yahoo! 知恵袋」を通じて光行差の公式を再認識した。
地球公転速度 \boldsymbol{v} の方向に対して角度 \theta の方向にある恒星から届く光の角度のずれを a とすると、

\displaystyle\frac{1}{\tan(\theta - a)} = \gamma\left(\frac{1}{\tan\theta} + \frac{\beta}{\sin\theta}\right)
ただし\beta = \displaystyle\frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

の公式がある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%89%E8%A1%8C%E5%B7%AE

4元波数ベクトルの変換からの導出

4元波数ベクトルのローレンツ変換から導出してみた。
ミンコフスキー空間（時空）座標 (ct,x,y,z) に対するローレンツ変換

ct^\prime = \gamma(ct - \beta x)
x^\prime = \gamma(x - \beta ct)
y^\prime = y
z^\prime = z

4元波数ベクトル (\omega/c, k_x, k_y, k_z) も同様の変換を受けるから、

\omega^\prime/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x)
{k_x}^\prime = \gamma(k_x - \beta\omega/c)
{k_y}^\prime = k_y
{k_z}^\prime = k_z

となる。

3次元波数ベクトルを\boldsymbol{v} に平行な成分と垂直な成分に分けると、

{k_\parallel}^\prime = \gamma(k_\parallel - \beta\omega/c)
{k_\perp}^\prime = k_\perp

上記設定場面に合わせれば、

k_\parallel = -k\cos\theta
k_\perp = k\sin\theta

また、k = \omega/c を考慮して

\displaystyle\frac{1}{\tan(\theta - a)} = -\frac{{k_\parallel}^\prime}{{k_\perp}^\prime} = \gamma\left(\frac{1}{\tan\theta} + \frac{\beta}{\sin\theta}\right)

を得る。

【メモ】
4元座標と4元波数の「内積」はローレンツ不変のスカラー＝「位相」を構成する。

\begin{matrix}(\omega/c, k_x, k_y, k_z)\\ \\ \\ \\ \end{matrix} \left(\begin{matrix}ct\\-x\\-y\\-z\end{matrix}\right)= \omega t - \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}

以上は、参考書の記述を参考にしたものだが、「速度合成則」でも簡単に導出できる。

速度合成則からの導出

相対論における速度合成則

{u_x}^\prime = \displaystyle\frac{u_x + v}{1+u_x v/c^2}
{u_y}^\prime = \displaystyle\frac{u_y}{\gamma(1+u_x v/c^2)}
{u_z}^\prime = \displaystyle\frac{u_z}{\gamma(1+u_x v/c^2)}

上記場面に適用し、観測者の速度方向成分と、垂直成分に整理すると

{c_\parallel}^\prime = \displaystyle\frac{c_\parallel- v}{1- c_\parallel v/c^2}
{c_\perp}^\prime = \displaystyle\frac{c_\perp}{\gamma(1 - c_\parallel v/c^2)}

また、

c_\parallel = -c\cos\theta
c_\perp = c\sin\theta

だから、

\displaystyle\frac{1}{\tan(\theta - a)} = -\frac{{c_\parallel}^\prime}{{c_\perp}^\prime} = \gamma\left(\frac{1}{\tan\theta} + \frac{\beta}{\sin\theta}\right)

を得る。