座標基底の変換

いかにも面倒な座標変換における基底（座標方向の単位ベクトル）の変換。より直感を重視する図形的導出と、マニュアル的にすませる座標変換からの計算を並べて整理してみよう。
座標としてはデカルト座標から球座標への変換を例に考察する。

図形的導出

球座標の基底をデカルト座標の基底で表現するには、ともかく基底に対して 座標軸への射影を求めればよいわけだ。

は最も簡単である。- 平面に平行だから、

を得る。
次に簡単なのは、 であろう。一端 - 平面への射影をとって、さらにその成分をとれば 成分を得る。 成分は 軸への射影をとるだけでよい。

を得る。
一番わかりにくいのが かもしれない。 を90°回転させることをてがかりに何とか影をとることができる。ちょっとズルして、

と計算してもよい。

座標変換を活用する

無限小変位ベクトルを考えると

これから



を得る。