4元加速度と3次元加速度の関係

OKWave>http://okwave.jp/qa/q7847798.html より。4元加速度と3次元加速度の関係を導出する。


4元速度は

\displaystyle\frac{dx^i}{d\tau} = \gamma\displaystyle\frac{dx^i}{dt} = \gamma v^i  ,  \gamma = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}  ,  \beta = \displaystyle\frac{v}{c}

したがって,4元加速度は

\displaystyle\frac{d^2x^i}{d\tau^2} = \gamma\displaystyle\frac{d(\gamma v^i)}{dt} = \gamma\displaystyle\frac{d\gamma}{dt}v^i + \gamma^2\displaystyle\frac{dv^i}{dt}

ここで,

$$\frac{d\gamma}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{\gamma^3v}{c^2}\frac{dv}{dt} = \frac{\gamma^3}{c^2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}$$

なお,最右辺は

$$v = \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}$$

を考慮した結果で,3次元速度および加速度を \boldsymbol{v},\boldsymbol{a} とした。

結局,3次元位置ベクトル \boldsymbol{r} として

\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{d\tau^2} = \displaystyle\frac{\gamma^4}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{v} + \gamma^2\boldsymbol{a}

を得る。
(初稿:2012/12/17)