ばねにつりさげられたひも

オリジナル問題。ばねにつりさげられ,余分が床上におかれた質量のあるひもの振動。難問だと思う。
【問題】(大学レベル)
ばね定数 k のばねを鉛直につるし,線密度 \rho のひもがつりさげられている。ひもは十分に長く,余分は床上におかれ,床から引き上げられた長さが h のとき,ちょうどつりあって静止した。つりあい位置から上または下に引いて放すと,振動を始める。この振動を解析せよ。ただし,重力加速度の大きさを g とし,床にあるひもの余分は,つられた部分の運動に一切影響を与えないものとする。
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※ Algodoo の設定は,k=10{\rm N/m},\rho=1.0{\rm kg/m},h=10{\rm m} である。

【解答】
つりあいのときのひもの上端位置を原点として鉛直上向きに x 軸をとる。
自然長における上端位置を x_0 とすると,

$$\rho hg = kx_0 \qquad \therefore x_0 = \frac{\rho hg}{k}$$

である。

ひもの上端位置が x で,上に動いているとき,微小時間 dt の間の運動量の変化を考察すると,

$$dp = \rho(h+x+dx)(\dot{x}+d\dot{x}) - \rho(h+x)\dot{x} =\rho(h+x)d\dot{x} + \rho\dot{x}dx$$

となる。一方,このときひもが受ける力は,

$$F = k(x_0-x) - \rho(h+x)g = -(k+\rho g)x$$

であるから,運動方程式

$$\rho(h+x)\ddot{x} + \rho\dot{x}^2 = -(k+\rho g)x$$

を得る。左辺第2項 \rho\dot{x}^2 は,床上から新たに運動に参入する部分の運動量変化率に相当する。
ところで,ひもが下に動いているときには,この第2項は床に達して運動から離脱していく部分の運動量変化率になるが,これは床からの抗力がまるごと引き受けるわけだから,\dot{x}<0 の場合の運動方程式

$$\rho(h+x)\ddot{x} = -(k+\rho g)x$$

としてよいと思われる。非弾性衝突によって力学的エネルギーは散逸していくことになる。
数値積分\dot{x} の符号によって振り分けた結果が下図である。
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振動の周期は,

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k+\rho g}{\rho h}}\qquad \therefore T = 2\pi\sqrt{\frac{\rho h}{k+\rho g}}$$

となるであろう。

Algodoo のシミュレーションは,減衰が数値積分よりもやや速いが,概ね良好に理論を再現しているといえそうだ。減衰が速いのは,横揺れや「くさり」の連結部分の弾性などによる影響があると思われる。
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Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=280&file=Spring%26Chain.phz

(初稿:2009/12/24)