ばね連結台車のキャッチボール - 科学のおもちゃ箱@Hatena

東工大'03入試問題をヒントにしたオリジナル問題。ばねで連結された２つの台車の間で小球が放物運動する。

【問題】

なめらかな水平面上に，質量 $M$ の２つの台車A，Bが自然長 $L$ ，ばね定数 $k$ の軽いばねでつながれて静止している。今，台車Aにある発射装置から質量 $m$ の小球が外から見て仰角 $\theta$ ，初速 $v_0$ で台車Bの方へと打ち上げられた。重力加速度の大きさを $g$ とし，台車および小球の大きさ，摩擦や抵抗は無視できるものとする。

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(1) 小球が打ち出された後の，台車Aの速さを求めよ。ただし，小球の発射にかかる時間は無視でき，発射によって台車が水平面から離れることはないものとする。
(2) 小球が打ち出された後の，台車AおよびBの初めの位置からの変位を $x_1,x_2$ ，加速度を $a_1,a_2$ として，それぞれの運動方程式を立てよ。ただし，左向きを正にとること。小球が後の台車の運動に影響を与えない場合，台車の速度変化の周期およびばねの伸びの最大値はどれだけになるか。
(3) 小球がちょうど台車Bの上に落下し，非弾性衝突によりBに乗った直後に両方の台車の運動が止まったとするとき，小球の初速 $v_0$ およびばね定数 $k$ を求めよ。ただし，小球が空中にある間にばねの伸びが最大になったのは１回であるものとする。
※　Algodoo の設定は， $M=0.15{\rm kg} , m=0.05{\rm kg} , L=5.0{\rm m} , \theta=\pi/3$ である。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=325&file=Catch.phz

【解答】

(1)
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求める台車の速さを左向きに $V$ とおくと，水平方向の運動量保存により，
$MV - mv_0\cos\theta = 0 \qquad \therefore V = \displaystyle\frac{m}{M}\;v_0\cos\theta$
を得る。
(2)
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左向きを正として，水平方向の運動方程式は
$Ma_1 = -k(x_1-x_2)$
$Ma_2 = k(x_1-x_2)$
となる。辺々引くと，
$M(a_1 - a_2) = -2k(x_1-x_2) \quad {\rm i.e.} \quad a_1-a_2 = -\displaystyle\frac{2k}{M}\;(x_1-x_2)$
したがって，求める周期は
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{M}{2k}}$
であり，台車A，Bは速度が0から $V$ までを交互に増減する運動をする。このとき，両者の重心は，速度 $V/2$ の等速度運動をする。
ばねの伸びの最大値を $A$ とすると，エネルギー保存により，
$\displaystyle\frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2}2M\left(\frac{V}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}kA^2$
または，相対変位の単振動のエネルギー保存により，
$\displaystyle\frac{1}{2}2kA^2 = \frac{1}{2}MV^2 \quad \therefore A = V\sqrt\frac{M}{2k} = \frac{mv_0\cos\theta}{\sqrt{2kM}}$
を得る。
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(3)
題意より，小球がBに到達する瞬間にBの速度が左向き $V$ であればよい。そうすると，(1)の運動量保存と同じ関係が成立して系の運動量は0となって静止する。このとき，ばねは自然長にもどるから小球の滞空時間は $T/2$ であることになる。
鉛直方向の運動から，
$\displaystyle\frac{T}{2} = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$
また，水平方向の運動から，
$\left(v_0\cos\theta + \displaystyle\frac{V}{2}\right)\cdot\displaystyle\frac{T}{2} = L$
両式を， $v_0 , k$ の連立方程式として解いて
$v_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{2MgL}{(2M+m)\sin 2\theta}} \quad , \quad k = \displaystyle\frac{\pi^2(2M+m)g}{8L\tan\theta}$
を得る。
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（初稿：2010/01/14）