地球公転軌道からの太陽への落下

中心力場

地球公転軌道から初速ゼロで太陽へと自由落下する時間を求める。「Yahoo! 知恵袋」から拾ったネタだが、おもしろそうなので考えてみた。

地球軌道において、
公転の角速度　\omega=2\pi[rad/y]
向心加速度　　r_0\omega^2 = 4\pi^2[AU/y^2]
　→　単位質量あたり万有引力　4\pi^2\displaystyle\frac{{r_0}^2}{r^2}
初期条件　r(0)=r_0=1 [AU], \dot{r}(0)=0 [AU/y]

エネルギー保存により、
\displaystyle\frac{1}{2}\dot{r}^2 - \frac{4\pi^2}{r} = -\frac{4\pi^2}{r_0}

整理すると、
\displaystyle\frac{dr}{dt} = -2\sqrt{2}\pi\sqrt{\frac{1}{r} - 1}

したがって、求める時間は、
T = -\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}\int_1^0\frac{dr}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{r} - 1}}

\tan\theta = \sqrt{\displaystyle\frac{1}{r} - 1} とおくと、
r = \cos^2\theta
dr = - 2\sin\theta\cos\theta d\theta
となり、
T = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{2\sin\theta\cos\theta d\theta}{\tan\theta}
= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}\int_0^\frac{\pi}{2} 2\cos^2\theta d\theta
= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}(1 + \cos 2\theta)d\theta
=\displaystyle\frac{1}{4\sqrt{2}}[y]
を得る。これは、軌道長半径が地球公転半径の半分の軌道の1/2 周期に相当する。

Algodooでシミュレーションしてみた。「地球」が円軌道の1/4を公転する時間が、自由落下時間の\sqrt{2}倍であることが確認できた。