ダンベル形の人工衛星の微小振動

中心力場

「知恵袋」から拾った問題。

【問題】

長さ l の軽い棒の両端に質量 m の質点がついたダンベル形の人工衛星が、棒を軌道半径方向にして半径 R の円軌道を角速度 \omega で公転している。衛星が軌道面上で \theta の角変位を生じて微小振動しているとするとき、振動の周期を求めよ。ただし、母星の質量を M、万有引力定数を G とする。

Algodooシーンのタウンロード
https://img.atwikiimg.com/www14.atwiki.jp/yokkun/attach/1/1483/arei-gata-eisei.phz

【解答】

振動は極めてゆっくりとしたものになるので、角速度 \omega で回転する立場で遠心力を考慮した力は、

f_1 = \displaystyle\frac{GMm}{(R - l\cos\theta/2)^2} - m(R - l\cos\theta/2)\omega^2
f_2 = \displaystyle\frac{GMm}{(R + l\cos\theta/2)^2} - m(R + l\cos\theta/2)\omega^2

となる。角変位 \theta のときこれらによって生じるトルクは、

\tau = -f_1 l\sin\theta/2 + f_2 l\sin\theta/2 \simeq -ml^2\left(\displaystyle\frac{GM}{R^3} + \frac{1}{2}\omega^2\right)\theta

したがって、角変位 \theta に対する運動方程式は、

2\times m \left(\displaystyle\frac{l}{2}\right)^2 \ddot{\theta} = -ml^2\left(\displaystyle\frac{GM}{R^3} + \frac{1}{2}\omega^2\right)\theta

角振動数は、

\Omega = \sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{R^3}+\omega^2}

周期は、

T = \displaystyle\frac{2\pi}{\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{R^3}+\omega^2}}

となる。
Algodooによるシミュレーション

【追記 2022/03/26】
重心の運動方程式により

2mR\omega^2 = \displaystyle\frac{GM\cdot 2m}{R^2}

したがって、

\omega^2 = \displaystyle\frac{GM}{R^3}

である。結果、周期は

T = \displaystyle\frac{2\pi}{\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{R^3}+\omega^2}} = 2\pi \displaystyle\sqrt{\frac{R^3}{3GM}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}\omega}

となる。