宇宙ステーションからのボール投げ

中心力場

円軌道を周回する宇宙ステーションからボールを鉛直下方（または上方）に投げる。ボールが描く楕円軌道とステーションの円軌道の関係について。

軌道交差点は円軌道の同一直径上にならぶのではないかとの予想

【証明】

質量 M の地球のまわりを速さ u ，半径 R の円軌道でめぐる，質量 m の宇宙ステーション（ISS）に対して，半径方向の運動方程式は

m\displaystyle\frac{u^2}{R} = G\frac{Mm}{R^2}

したがってISSの面積速度 S は，

2S = Ru = \sqrt{GMR}

である。

このISSから，鉛直下方に投射したボールの軌道は楕円になる。その長半径を a ，離心率を e とする。このとき，ボールは中心力によって加速されたことになるから，その面積速度はISSと等しいはずである。したがって，近地点および遠地点でのボールの速さを V,v とすると，面積速度一定により

2S = (1-e)aV = (1+e)av

また，エネルギー保存により，

\displaystyle\frac{1}{2}mV^2 - G\frac{Mm}{(1-e)a} = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{(1+e)a}

が成り立つ。２式から V を求め，面積速度から R を逆算すると

R = (1-e^2)a

となる。

一方，楕円軌道の極座標方程式は

r = \displaystyle\frac{(1-e^2)a}{1+e\cos\theta}

であるから，r=R となるのは \theta=\pm\pi/2 のときである。
すなわち，ISSの円軌道とボールの楕円軌道の交差点は，円軌道の直径上にならぶことになる。

また，このときボールの軌道の長半径 a ，短半径 b はともに R より大きくなることが示される。

Phun（現Algodoo）でシミュレートしてみた。
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Phun（現Algodoo）シーンダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=166&file=Satellite+Launcher.phz

youtu.be

（初稿：2009/09/11）