万有引力下の自由落下

ポテンシャルエネルギー
U(x) = - \displaystyle\frac{k}{x}
の下での x=a から原点までの自由落下時間を求める。ただし、k\gt 0, a\gt 0。


力学的エネルギー保存

\displaystyle\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2 - \frac{k}{x} = - \frac{k}{a}

より

\displaystyle\frac{dx}{dt} = - \displaystyle\sqrt{\frac{2k}{m}}\cdot\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}} = - \displaystyle\sqrt{\frac{2k}{m}}\cdot\sqrt{\frac{a-x}{ax}}

したがって、求める落下時間は

t = \displaystyle\sqrt{\frac{m}{2k}} \int_0^a \sqrt{\frac{ax}{a-x}} dx

見通しが悪いので、u=\sqrt{ax} とおいてみると

t = \displaystyle\sqrt{\frac{2m}{ka}} \int_0^a \frac{u^2}{\sqrt{a^2 - u^2}} du

さらに、u=a \sin\theta とおくと

t = \displaystyle\sqrt{\frac{2m}{ka}} \int_0^{\pi/2} a^2 \sin^2\theta d\theta = \frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{2ma^2}{k}}

を得る。

半径 a の円軌道では、円運動の方程式

ma\omega^2 = \displaystyle\frac{k}{a^2}

より周期は

T = 2\pi \displaystyle\sqrt{\frac{ma^3}{k}}

となるが、これとの関係を考えてみた。

円軌道上 (a,0) における接線速度を瞬間的に小さくしたらどうなるか？
軌道は楕円になり、速度が小さいほど軌道長半径 a は小さくなって軌道は細長くなっていく。周期は a だけで決まり、円軌道の式がそのまま適用される。そして接線速度０の極限を考えれば、求める落下時間はa を半分にしたときの半周期に相当すべきことがわかる。