たまに大学入試でみかける問題。最近では2021年東京理科大で出題されたようだ。鉛直軸まわりに角速度 で等速回転する円板上の半径方向の溝にそって、中心から伸びるばね定数 のばねの他端につながれた質量 の質点の単振動を考察する。

ラザフォード散乱の軌道 - 科学のおもちゃ箱@Hatenaにおいて、ラザフォード散乱の軌道方程式を導出した。今回の考察に当たっても軌道方程式を用いるが、方位角の基準は進入方向ではなく、最接近方向にとっている。惑星の軌道方程式と比べて引力と斥力の違い…

質量 の母星から 離れた場所にある質量 の物体が、初速度 で母星に向かって落下するとき、万有引力 を時間 の関数として表す。https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11264390301

潮汐摩擦による地球自転の遅れと月の後退に関して、初歩的な考察を試みた小論の再掲。 地球自転の遅れ 地球の自転はしだいに遅くなっていることが知られている。実際，自転周期は大気や水の循環，また地震や地殻変動，地球内部の物質移動などの影響により上…

東大の入試に、潮汐力と地球－月系の公転における遠心力に関わる問題が出された。かつて、この問題は小論にまとめたことがあったので、再掲しておく。 潮汐力 潮汐の原因の説明として，月の引力と地球－月公転による遠心力の差としての「潮汐力」がとりあつ…

【問題】 第１宇宙速度によって地表から 仰角 で発射された物体の着地点は，発射点からの中心角で の地点になることを証明せよ。ただし，空気抵抗は無視できるものとする。 【解答】 まず，投射体の軌道が地球中心を焦点とし地球半径に等しい長半径をもつ楕…

一様な重力下で固定された球面に拘束された質点（球面振子）の運動の解析。球の半径を とし，わかりやすいグラフの描画のために重力方向を主軸方向として球面座標 （ は鉛直下方からの角変位で， は水平方位角）をとる。質量 の質点のラグランジアンは，微分…

万有引力を及ぼしあう 個の天体系において，特定の天体が受ける力の記述。ポテンシャルエネルギーと力をつなぐ計算だから，決して難しい問題ではないが，エレガントに記述するには工夫がいる。【問題】万有引力を及ぼしあう 個の天体系において， 番目の天体…

安定を無視し，単に力のつりあい条件のみで「静止」を語る悪問が後を絶たない。現実にありえない状態を問題にするのはいかがなものか？【問題】３つの点電荷 が一直線上に等間隔に並んで静止している。 [C] として を求めよ。【解答】 が受ける力のつりあい…

久しぶりに，「目からウロコ」の教育的示唆に富む問題に出会った。 の累乗に比例する中心引力下で質点が円運動をするとき，そのまわりの微小振動に関する問題。【問題】質量 の粒子が,中心力ポテンシャルの下で原点を中心とする半径 の円軌道を描いて運動し…

軌道方程式を経ずに散乱角と衝突パラメータの関係を得る。【問題】- 座標原点に固定された原子核Zがあり，座標の第一象限から質量 の陽子が初速 ，衝突パラメータ で原子核Z方向へ 軸に平行に発射される。発射後，原子核Zに近づくにつれて陽子は散乱されて進…

ラザフォード散乱の軌道の導出は，古典的には惑星軌道の導出とほとんど変わらない。結果らしいものがわかったので，自分なりに導出してみた。

スイングバイは，簡単にいえば探査機と惑星との弾性衝突である。Yahoo!知恵袋よりひろった１次元弾性衝突としてのスイングバイの考察を２次元にひろげてみた。 【問題】図で重力のスイングバイ効果が、(太陽に対して)9.6km/sの軌道速度でx負方向へ運動してい…

連星系の崩壊 - 科学のおもちゃ箱@Hatena は、連星の公転が突然停止するという突飛なものであったが、こちらは多少は現実味のある設定。やや難問だと思うが、結果はいたってシンプル。 【問題】 質量がそれぞれ の星A, B が図のように連星系を構成し、重心O…

この引力について考えたことのある人は多いだろうが，くっつくのにどれだけ時間がかかるかを計算したことのある人がどれだけいるだろうか？ 高校生（？）が思いついたおもしろい問題。結果は１日ちょっと。【問題】 質量がぞれぞれ1.0kgの物体A、Bを1m離れた…

【問題】 質量 の質点が 平面上でその位置ベクトルが で表される運動をしている。質点の力学的エネルギーを求めよ。

惑星の軌道方程式 の積分定数である を用いてエネルギーを記述し、エネルギー保存から運動において がとり得る範囲を求む。

中心力とは、大きさが距離のみに依存し、方向が動径方向（中心に向かうまたは中心から離れる方向）であるような力です。したがって、 と書けます。保存力の条件は ですから、これを証明すればよいわけです。

円軌道を周回する宇宙ステーションからボールを鉛直下方（または上方）に投げる。ボールが描く楕円軌道とステーションの円軌道の関係について。軌道交差点は円軌道の同一直径上にならぶのではないかとの予想 【証明】 質量 の地球のまわりを速さ ，半径 の円…

万有引力の下で３連星が同一の８の字軌道を追いかけっこするという，３体問題の８の字軌道解。Algodooによるシミュレーションを試みた。C. Moore, A. Chenciner & R. Montgomery, C. Sim´o らによって発見された，３体８の字解は，３体問題の一つの解で，等…

高校レベルで等速円運動の例題として扱われる、円錐面内の運動。円運動を仮定せずに有効ポテンシャルを用いて考察する。ラグランジアンは運動方程式は 第2式は角運動量保存である。これを用いて に関する1次元運動と解釈すれば、有効ポテンシャルは により、…

エネルギーによって軌道長半径が決まること - 科学のおもちゃ箱@Hatenaで円軌道からの考察をしたが、近地点・遠地点のエネルギー保存と角運動量保存（面積速度一定）を連立させれば、素直に衛星のエネルギーが軌道長半径のみによって決まることが得られる。…

「知恵袋」から拾った問題。問題はごくありふれたものだが、多くの解説や参考書では両端を個別に求めているのに対して、初めから簡明に「サンドイッチ」できないかという「ワガママ」なご注文。 【問題】 地球半径を として、地球中心から の高さにおいて速…

「知恵袋」から拾った問題。 【問題】 長さ の軽い棒の両端に質量 の質点がついたダンベル形の人工衛星が、棒を軌道半径方向にして半径 の円軌道を角速度 で公転している。衛星が軌道面上で の角変位を生じて微小振動しているとするとき、振動の周期を求めよ…

「物理のかぎしっぽ」の掲示板への質問から。この問題は，かつて優秀な後輩Ｎ君に教えてもらったことがあったと記憶している。質量 のボーリング球を自由落下させる。地球の質量 ，万有引力定数 ，地球およびボーリング球の座標を とすると，相対座標 として…

知恵袋のすぐれた回答から拾ったもの。本来の目標は、エネルギー保存と角運動量保存により「ケプラーの第一法則」すなわち楕円軌道を導く。運動方程式 により、角運動量保存 ここで、次のようなベクトル積をとる。 途中、ベクトル三重積の公式と を用いた。…

http://okwave.jp/qa/q6149778.htmlのQ&Aより。相互に円軌道を描く連星系の回転が突然静止したとして，接近衝突までの時間を問う。 【問題】 万有引力のもとで２つの質点が周期 で互いに円運動をしている。ある瞬間に２つの質点を止め、次に放すと２つの質点…

この引力について考えたことのある人は多いだろうが，くっつくのにどれだけ時間がかかるかを計算したことのある人がどれだけいるだろうか？ 高校生（？）が思いついたおもしろい問題。結果は１日ちょっと。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question…

惑星運動のスタンダードな問題。 【問題】 ある惑星の近日点距離 において、速さが であったとする。遠日点での距離 および速さ を求めよ。ただし、惑星質量 、太陽質量 、万有引力定数 とする。

Yahoo! 知恵袋から拾ったなかなかホネのある問題。 ［問題］ 一辺の長さが , 質量 の正方形の板がある。板の中心Oを通り、板に垂直な回転軸のまわりを板は摩擦なしで回転できる。この回転軸を鉛直に立てる。はじめに、静止した板のひとつの角にいた質量 の人…