正n角形コイルの中心磁場

電磁気

【問題】
(1) 正n角形の回路上に電流 I が流れる場合に中心Oに発生する磁場 H を求めよ。
(2) n\rightarrow \infty の場合の H が正n角形の外接円の回路に電流I を流した時の中心磁場と等しくなること証明せよ。

【解答】
正n角形の1辺を見込む中心角は
\theta = \displaystyle\frac{2\pi}{n}
1辺の長さは外接円の半径を r として
l = 2r \sin\displaystyle\frac{\theta}{2}
中心からの距離は
\rho = r \cos\displaystyle\frac{\theta}{2}

ビオサバールの法則により

H = n\times \displaystyle\frac{Il\rho}{4\pi r^3}\\ = nI\cdot\displaystyle\frac{\sin\theta}{4\pi r}\\ = \displaystyle\frac{I}{2r}\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}\\ \rightarrow \displaystyle\frac{I}{2r}\, （n\rightarrow\infty）

を得る。