2次元ばね振子

阪大'06(後期)入試問題より。左右両側から2本のばねに引かれた質点の2次元の振動。

【問題】

なめらかな水平面に質量 m の小球を置き,自然長 l_0 ,ばね定数 k の2本の軽いばね,ばね1およびばね2につないでその両端を座標 (-l,0)\;,\;(\;l,0) に固定した。ただし,l_0\lt l とする。以下では,a , b がともに l , l-l_0 に比べて十分小さい場合で, a , b について一次の項までをとる近似を考える。たとえば小球が (a,b) にあるとき,ばね1,2の長さ L_1 , L_2 に対して次の近似が成り立つことを用いてよい。

L_1 \fallingdotseq l\left(1+\displaystyle\frac{a}{l}\right)\qquad \displaystyle\frac{1}{L_1} \fallingdotseq \frac{1}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right)

L_2 \fallingdotseq l\left(1-\displaystyle\frac{a}{l}\right)\qquad \displaystyle\frac{1}{L_2} \fallingdotseq \frac{1}{l}\left(1+\frac{a}{l}\right)

(1) 小球が (a,b) にあるとき,ばね1とばね2から受ける合力の,x 成分と y 成分をそれぞれ求めよ。

(2) 時刻 t=0 に,点 (a,b)\;(a\gt 0 , b\gt 0) から静かに小球を放す。運動方程式によれば,この後の小球の x 方向,y 方向の運動は,それぞれ振幅 a , b の独立な単振動であることがわかる。時刻 t における位置座標 (x,y) を与える式を示せ。

(3) l=4l_0/3 である場合に,(2)の式から t を消去して得られる軌跡を表す方程式をつくり,軌跡の概略を描け。

※ Algodoo の設定は,m=0.010{\rm kg} , l_0=1.5{\rm m} , k=0.10{\rm N/m} である。

Algodoo シーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=307&file=Osaka06-kouki.phz

【解答】

(1)

ばね1,2の自然長からの伸びを {\it\Delta}l_1 , {\it\Delta}l_2 とおくと,

{\it\Delta}l_1 = L_1 - l_0 \fallingdotseq l\left(1+\displaystyle\frac{a}{l}\right) - l_0 = l - l_0 + a

{\it\Delta}l_2 = L_2 - l_0 \fallingdotseq l\left(1-\displaystyle\frac{a}{l}\right) - l_0 = l - l_0 - a

となる。したがって,ばね1,2から受ける力を (f_{1x},f_{1y})\;,\;(f_{2x},f_{2y}) とおくと,

f_{1x} = -k{\it\Delta}l_1\cdot \displaystyle\frac{l+a}{L_1} \fallingdotseq -k(l-l_0+a)(l+a)\cdot\frac{1}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right) \fallingdotseq -k(l-l_0+a)

f_{1y} = -k{\it\Delta}l_1\cdot \displaystyle\frac{b}{L_1} \fallingdotseq -k(l-l_0+a)\cdot\frac{b}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right) \fallingdotseq -kb\left(1-\frac{l_0}{l}\right)

f_{2x}  \fallingdotseq k(l-l_0-a)

f_{2y} \fallingdotseq -kb\left(1-\displaystyle\frac{l_0}{l}\right)

となるから,合力の成分 (F_x,F_y) すなわち

F_x = f_{1x} + f_{2x} = -2ka

F_y = f_{1y} + f_{2y} = -2kb\left(1-\displaystyle\frac{l_0}{l}\right)

を得る。

(2)

(1)の結果を用いると,加速度を (a_x , a_y) として小球の運動方程式

ma_x = -2kx

ma_y = -2k\left(1-\displaystyle\frac{l_0}{l}\right)y

となる。したがって,時刻 t における位置は

x = a\cos\omega_x t\quad , \quad \omega_x = \sqrt{\displaystyle\frac{2k}{m}}

y = b\cos\omega_y t\quad , \quad \omega_y = \sqrt{\displaystyle\frac{2k}{m}\left(1-\frac{l_0}{l}\right)}

となる。

(3)

(2) の結果に,l=4l_0/3 を代入すると,

\omega_y = \displaystyle\frac{1}{2}\omega_x \qquad \therefore x = a\cos(2\omega_y t) = a(2\cos^2\omega_yt - 1) = a\left(\frac{2y^2}{b^2}-1\right) = \frac{2a}{b^2}y^2-a

を得る。

下は,a,b が小さくない場合。近似からのずれが無視できなくなる。

(初稿:2010/01/06)