２次元ばね振子 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

阪大'06（後期）入試問題より。左右両側から２本のばねに引かれた質点の２次元の振動。

【問題】

なめらかな水平面に質量 $m$ の小球を置き，自然長 $l_0$ ，ばね定数 $k$ の２本の軽いばね，ばね１およびばね２につないでその両端を座標 $(-l,0)\;,\;(\;l,0)$ に固定した。ただし， $l_0\lt l$ とする。以下では， $a , b$ がともに $l , l-l_0$ に比べて十分小さい場合で， $a , b$ について一次の項までをとる近似を考える。たとえば小球が $(a,b)$ にあるとき，ばね１，２の長さ $L_1 , L_2$ に対して次の近似が成り立つことを用いてよい。

$L_1 \fallingdotseq l\left(1+\displaystyle\frac{a}{l}\right)\qquad \displaystyle\frac{1}{L_1} \fallingdotseq \frac{1}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right)$

$L_2 \fallingdotseq l\left(1-\displaystyle\frac{a}{l}\right)\qquad \displaystyle\frac{1}{L_2} \fallingdotseq \frac{1}{l}\left(1+\frac{a}{l}\right)$

(1) 小球が $(a,b)$ にあるとき，ばね１とばね２から受ける合力の， $x$ 成分と $y$ 成分をそれぞれ求めよ。

(2) 時刻 $t=0$ に，点 $(a,b)\;(a\gt 0 , b\gt 0)$ から静かに小球を放す。運動方程式によれば，この後の小球の $x$ 方向， $y$ 方向の運動は，それぞれ振幅 $a , b$ の独立な単振動であることがわかる。時刻 $t$ における位置座標 $(x,y)$ を与える式を示せ。

(3) $l=4l_0/3$ である場合に，(2)の式から $t$ を消去して得られる軌跡を表す方程式をつくり，軌跡の概略を描け。

※ Algodoo の設定は， $m=0.010{\rm kg} , l_0=1.5{\rm m} , k=0.10{\rm N/m}$ である。

Algodoo シーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=307&file=Osaka06-kouki.phz

【解答】

(1)

ばね１，２の自然長からの伸びを ${\it\Delta}l_1 , {\it\Delta}l_2$ とおくと，

${\it\Delta}l_1 = L_1 - l_0 \fallingdotseq l\left(1+\displaystyle\frac{a}{l}\right) - l_0 = l - l_0 + a$

${\it\Delta}l_2 = L_2 - l_0 \fallingdotseq l\left(1-\displaystyle\frac{a}{l}\right) - l_0 = l - l_0 - a$

となる。したがって，ばね１，２から受ける力を $(f_{1x},f_{1y})\;,\;(f_{2x},f_{2y})$ とおくと，

$f_{1x} = -k{\it\Delta}l_1\cdot \displaystyle\frac{l+a}{L_1} \fallingdotseq -k(l-l_0+a)(l+a)\cdot\frac{1}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right) \fallingdotseq -k(l-l_0+a)$

$f_{1y} = -k{\it\Delta}l_1\cdot \displaystyle\frac{b}{L_1} \fallingdotseq -k(l-l_0+a)\cdot\frac{b}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right) \fallingdotseq -kb\left(1-\frac{l_0}{l}\right)$

$f_{2x} \fallingdotseq k(l-l_0-a)$

$f_{2y} \fallingdotseq -kb\left(1-\displaystyle\frac{l_0}{l}\right)$

となるから，合力の成分 $(F_x,F_y)$ すなわち

$F_x = f_{1x} + f_{2x} = -2ka$

$F_y = f_{1y} + f_{2y} = -2kb\left(1-\displaystyle\frac{l_0}{l}\right)$

を得る。

(2)

(1)の結果を用いると，加速度を $(a_x , a_y)$ として小球の運動方程式は

$ma_x = -2kx$

$ma_y = -2k\left(1-\displaystyle\frac{l_0}{l}\right)y$

となる。したがって，時刻 $t$ における位置は

$x = a\cos\omega_x t\quad , \quad \omega_x = \sqrt{\displaystyle\frac{2k}{m}}$

$y = b\cos\omega_y t\quad , \quad \omega_y = \sqrt{\displaystyle\frac{2k}{m}\left(1-\frac{l_0}{l}\right)}$

となる。

(3)

(2) の結果に， $l=4l_0/3$ を代入すると，

$\omega_y = \displaystyle\frac{1}{2}\omega_x \qquad \therefore x = a\cos(2\omega_y t) = a(2\cos^2\omega_yt - 1) = a\left(\frac{2y^2}{b^2}-1\right) = \frac{2a}{b^2}y^2-a$

を得る。

下は， $a,b$ が小さくない場合。近似からのずれが無視できなくなる。

（初稿：2010/01/06）