すべるブロックに連結した振子

振動

宮崎大'09入試問題の発展。

【問題】

図のように，水平なレール上を摩擦なくすべる質量 M のブロックに，長さ L の 軽い糸をつけ，その先に質量 m の小球をつないである。はじめブロックを固定して糸が鉛直方向から角度 \theta_0 をなすように小球を持ち上げた。小球を放すと同時に，ブロックの固定をはずすと，小球とブロックはともに運動を開始した。

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(1) 小球が最下点にきたときの小球およびブロックの速度を求めよ。ただし，右向きを正とする。
(2) \theta_0 が十分小さいとき，振子の周期を求めよ。ただし，次の関係を用いてよい。

　　　　\cos\theta_0 \fallingdotseq 1 - \displaystyle\frac{1}{2}{\theta_0}^2

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=237&file=Miyazaki09.phz

【解答】

f:id:yokkun831:20200413170926j:plain(1)

小球の最下点における，小球およびブロックの速度を v,V とおくと，運動量の水平成分は保存されるから，

mv+MV=0 \qquad \therefore V = -\displaystyle\frac{m}{M}\; v

またエネルギー保存により，

mgL(1 - \cos\theta_0) = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2

\therefore v = \sqrt{\displaystyle\frac{2MgL(1-\cos\theta_0)}{M+m}},\quad V = -m\sqrt{\displaystyle\frac{2gL(1-\cos\theta_0)}{M(M+m)}}

(2)

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※実際には V の方向は逆向きである。

ある時刻における糸の角度を \theta，小球およびブロックの水平位置座標を x,X，水平速度成分を v,V とおくと，水平方向の運動量保存により

V = -\displaystyle\frac{m}{M}\; v

このとき系のエネルギーは，

E \fallingdotseq \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 + mgL(1-\cos\theta)

と書ける。上の結果および微小角の近似を用いて，

E \fallingdotseq \displaystyle\frac{1}{2}\frac{M+m}{M}\;mv^2 + \frac{1}{2}mgL\theta^2

また，

v - V = \displaystyle\frac{M+m}{M}\;v ,\qquad \theta \fallingdotseq \frac{x-X}{L}

によって，

E \fallingdotseq \displaystyle\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}(v-V)^2 + \frac{1}{2}\frac{mg}{L}\;(x-X)^2

一般に，単振動をする系のエネルギーは

E = \displaystyle\frac{1}{2}\mu V^2 + \frac{1}{2}KX^2

と書け，このとき周期は

T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{\mu}{K}}

となる。比較により

\mu = \displaystyle\frac{Mm}{M+m},\qquad K = \frac{mg}{L}

であるから求める周期は，

T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L}{g}\cdot\frac{M}{M+m}}

となる。

※ Algodoo の設定は，M = 3m, L = 3.0 [m] である。

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（初稿：2009/12/06）