スリンキー近似と小振動近似

振動

2本のばねに引かれた質点の縦振動と横振動における，スリンキー近似（自然長 \ll 平衡長）と小振動近似（変位 \ll 平衡長）の比較。

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自然長 a_0 から平衡長 a に伸びた，ばね定数 k の2本のばねに左右に引かれ，なめらかな平面上で運動する質量 m の質点の縦振動および横振動について考察する。

縦振動の運動方程式は，

m\ddot x = -k(a-a_0+x)+k(a-a_0-x)

すなわち，

m\ddot x = -2kx

したがって角振動数と周期は，

\omega_x = \displaystyle\sqrt\frac{2k}{m}\quad , \quad T_x = 2\pi\sqrt\frac{m}{2k}

となる。また，横振動の運動方程式は，

m\ddot y = -2k(l - a_0)\times\displaystyle\frac{y}{l}

すなわち，

m\ddot y = -2k\left(1-\displaystyle\frac{a_0}{l}\right)y

となるが，l は y の関数であるから調和振動にはならない。そこで，横振動が調和振動となる２つの近似について考察しよう。

(1) スリンキー近似

自然長が平衡長に対して無視できるほど小さいとする近似である。スリンキーは，階段を下りるゆるいばねのおもちゃ。

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a_0\ll a \lt l だから，運動方程式は

m\ddot y = -2ky

となり，変位の大小に関わらず，角振動数および周期は縦振動に等しくなる。

\omega_y = \displaystyle\sqrt\frac{2k}{m}\quad , \quad T_y = 2\pi\sqrt\frac{m}{2k}

(2) 小振動近似

変位が平衡長に対して十分小さいときに可能な近似である。

y \ll a だから，

1-\displaystyle\frac{a_0}{l} = 1-\frac{a_0}{\sqrt{a^2+y^2}} \simeq 1-\frac{a_0}{a}

と近似でき，運動方程式は

m\ddot y = -2k\left(1-\displaystyle\frac{a_0}{a}\right)y

となる。したがって振動は縦振動に比べてゆっくりとなる。

\omega_y = \displaystyle\sqrt{\frac{2k}{m}\left(1-\frac{a_0}{a}\right)}\quad , \quad T_y = 2\pi\sqrt\frac{ma}{2k(a-a_0)}

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（初稿：2010/02/21）