２直線に束縛された振子 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

Algodooのサンプルシーンより。ラグランジアンを用いた方法がいかに有効かを思い知る。

【問題】（大学レベル）
図のように質量 $m$ のおもりがC端についた棒ACが，点AおよびBにおいてスライダーで $y$ 軸および $x$ 軸になめらかな束縛を受けて運動する。ここで ${\rm AC}=L, {\rm BC}=l$ である。重力加速度の大きさを $g$ とし，スライダーと棒の質量は無視できるものとする。

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(1) 重力の影響がない場合の運動を解析せよ。

(2) 重力が $y$ 方向に存在するときの運動を解析せよ。

※ Algodoo の設定は， $L=150$ [m]、 $l=75$ [m]、である。また，重力がある場合の初期条件は， $\theta_0=5\pi/6,\,\dot{\theta}_0=0$ である。

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=268&file=System1.phz
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=268&file=System12.phz

【解答】

(1) 重力の影響がない場合

図のような状態で，鉛直方向からの棒の角度を $\theta$ とおくと，おもりの位置は

$x = L\sin\theta$
$y = l\cos\theta$

速度成分は，

$\dot{x} = L\cos\theta\cdot\dot{\theta}$
$\dot{y} = -l\sin\theta\cdot\dot{\theta}$

したがって，ラグランジアンは

$L = \displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) = \displaystyle\frac{1}{2}m(L^2\cos^2\theta + l^2\sin^2\theta)\dot{\theta}^2$

となる。

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\displaystyle\frac{1}{2}m(L^2 - l^2)\sin 2\theta\cdot\dot{\theta}^2$
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m(L^2\cos^2\theta+l^2\sin^2\theta)\dot{\theta}$