固有振動数の同位体シフト - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】
　2原子分子をバネにつながれた2つの質点とみなして結合距離が伸び縮みする分子の伸縮振動を考える。水素と塩素からなる塩化水素(HCl)分子の伸縮振動の振動周波数は約 89.61THz である。
　この塩化水素の水素原子を同位体の重水素に置き換えた塩化重水素(DCl)分子の振動周波数を求めよ。ただし、塩素には原子量35と37の二つの安定同位体 ³⁵Cl、³⁷Clがあるが、ここでは ³⁵Clであるとする。またバネのバネ定数は両方の分子において等しい大きさであるものとする。なおこのような同位体の違いによる周波数の変化は同位体シフトと呼ばれる。

【解答】
運動方程式
$\mu \ddot{x} = - kx$
換算質量： $\mu = 35m/36$ （Hの質量を $m$ とした）

固有振動数は
$f = \omega/(2\pi) = 1/(2\pi) \cdot \sqrt{36k/(35m)}$

塩化重水素の場合は、
換算質量： $\mu^\prime = 70m/37$

固有振動数は
$f^\prime = 1/(2\pi) \cdot \sqrt{37k/(70m)}$

比をとると
$f^\prime/f = \sqrt{37/72}$
したがって、
$f^\prime = \sqrt{37/72} \cdot f = 64.24$ [THz]
となる。

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