直線形分子の慣性モーメント

知恵袋から拾った問題。ランダウリフシッツ力学§32の問題1なのだそうだ。

【問題】
直線上に原子が並ぶ分子の慣性モーメントを求めよ。
ただし、各々の原子間距離は不変であるものとする。

【答え】
慣性モーメント I は系の慣性中心を原点として
I= \displaystyle\frac{\sum_{a≠b} m_a m_b{ l_{ab}}^2}{\sum_i m_i}
ただし、m_i は、分子を構成する i 番目の原子の質量。
l_{ab} は、a 番目と b 番目の原子間距離。


自然な導出は思いつかないので、とりあえず証明を試みてみた。

x_i で重心を原点とした i 番目の原子の位置座標とする。

\displaystyle\frac{\sum_{a≠b}m_a m_b {l_{ab}}^2}{\sum_i m_i} = \displaystyle\frac{\sum_{a≠b}m_a m_b(x_a - x_b)^2}{\sum_i m_i}
= \displaystyle\frac{\sum_{a≠b}(m_a m_b{x_a}^2 + m_a m_b{x_b}^2 - 2m_a m_b x_a x_b)}{\sum_i m_i}
= \displaystyle\frac{\sum_a(\sum_b m_a m_b{x_a}^2 - {m_a}^2{x_a}^2) - 2\sum_{a≠b}m_a m_b x_a x_b}{\sum_i mi}
= \displaystyle\frac{\sum_a(m_a {x_a}^2\sum_b m_b - {m_a}^2{x_a}^2) - 2\sum_{a≠b}m_a m_b x_a x_b}{\sum_i m_i}
= \displaystyle\frac{\sum_i m_i \sum_a m_a{x_a}^2 - \sum_a {m_a}^2{x_a}^2 - 2\sum_{a≠b}m_a m_b x_a x_b}{\sum_i m_i}
= \sum_a m_a{x_a}^2 - \displaystyle\frac{(\sum_a m_a x_a)^2}{\sum_i m_i}
= \sum_a m_a{x_a}^2

※ 第2項は、重心位置を原点としたので０

となる。
基本的には、平行軸の定理
慣性モーメント＝重心の慣性モーメント＋重心周りの慣性モーメント
を用いていると思われる。