二酸化炭素分子の直線振動モード - 科学のおもちゃ箱@Hatena

CO $_2$ 分子をばねで連結した３質点としたモデルで、結合方向の振動モードを考察する。知恵袋から拾った問題。

［問題］

CO $_2$ 分子の運動を考える。C,Oの原子は $x$ 軸上を運動する。Cの質量を $M$ 、Oの質量を $m$ とし、ばね定数 $k$ のばねで結合されているモデルで考察する。３つの原子O-C-O の平衡位置からの変位を $x_1,x_2,x_3$ とする。外力は無視する。
(1)　 $x_1,x_2,x_3$ について、運動方程式を求めよ。
(2)　相対変位
$y_1(t) = x_1(t) - x_2(t)$
$y_2(t) = x_3(t) - x_2(t)$
と、対角行列
$T = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\\1\,\,-1\end{matrix}\right)$
を用いて、規準振動を求めよ。

［解答］

(1)
$m\ddot{x_1} = k(x_2 - x_1)$
$M\ddot{x_2} = -k(x_2 - x_1)+k(x_3 - x_2)$
$m\ddot{x_3} = -k(x_3 - x_2)$

(2)
$\ddot{y_1} = -({\omega_0}^2+{\Omega_0}^2) y_1 - {\Omega_0}^2 y_2$
$\ddot{y_2} = -{\Omega_0}^2 y_1 - ({\omega_0}^2+{\Omega_0}^2) y_2$
ただし、
${\omega_0}^2 = \displaystyle\frac{k}{m}$
${\Omega_0}^2 = \displaystyle\frac{k}{M}$

和と差がモードを決めることはほとんど自明であり対角行列を用いるほどのことはないのだが、それが題意であるからやむをえない。そこで、対角行列はまさに和と差を成分として得る行列であることを用いる。

行列表示すると、

$\displaystyle\frac{d^2}{dt^2}\left(\begin{matrix}y_1\\y_2\end{matrix}\right) = - \left(\begin{matrix} {\omega_0}^2+{\Omega_0}^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\Omega_0}^2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\Omega_0}^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\omega_0}^2+{\Omega_0}^2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y_1\\y_2\end{matrix}\right)$

左からＴをかけると

$T \displaystyle\frac{d^2}{dt^2}\left(\begin{matrix}y_1\\y_2\end{matrix}\right) = - T \Omega^2\left(\begin{matrix}y_1\\y_2\end{matrix}\right)$

を得る。ただし、行列部分を $\Omega^2$ と略記した。

ここで $T\Omega^2 = {\Omega^\prime}^2 T$ となる ${\Omega^\prime}^2$ を決定する。
${\Omega^\prime}^2 = T\Omega^2T^{-1} = \left(\begin{matrix} {\omega_0}^2+2{\Omega_0}^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\omega_0}^2\end{matrix}\right)$

結局

$\displaystyle\frac{d^2}{dt^2}T \left(\begin{matrix}y_1\\y_2\end{matrix}\right) = - \left(\begin{matrix} {\omega_0}^2+2{\Omega_0}^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\omega_0}^2\end{matrix}\right)T \left(\begin{matrix}y_1\\y_2\end{matrix}\right)$

を得る。 ${\Omega^\prime}^2$ は対角化されており、これが固有振動数

$\omega_{1,2} = \omega_0, \sqrt{{\omega_0}^2+2{\Omega_0}^2}$

を与える。

最終的にモード１は、
$x_1 = -a \sin\omega_0 t$
$x_2 = 0$
$x_3 = a \sin\omega_0 t$
モード２は、
$x_1 = b \sin\sqrt{{\omega_0}^2+2{\Omega_0}^2}\cdot t$
$x_2 = -\displaystyle\frac{2m}{M} b \sin\sqrt{{\omega_0}^2+2{\Omega_0}^2}\cdot t$
$x_3 = b \sin\sqrt{{\omega_0}^2+2{\Omega_0}^2}\cdot t$
となる。

［動画］
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