三角サイクルの熱効率 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】
1mol の単原子分子理想気体を容器に封入し、A→B→C→Aと変化させた。
(1) C→Aの変化において気体がした仕事 $W$ と体積 $V$ の関係を $W{\rm -}V$ グラフにせよ。また、内部エネルギーの変化 $\it{\Delta}U$ と体積 $V$ の関係を $\it{\Delta}U{\rm -}V$ グラフにせよ。
(2) この熱サイクルの熱効率を求めよ。

【解答】
C→Aの変化途上における圧力は
$P = -\displaystyle\frac{P_0}{V_0}\cdot V + 4P_0$

(1)
$W(V) = \displaystyle\int_{V_0}^V pdV = - \displaystyle\frac{P_0}{2V_0}(V - 4V_0)^2 + \frac{9}{2}P_0V_0$

状態Bの温度を $T_0$ とすると、A,Cの温度は $3T_0$ だから
${\it \Delta}U(V) = \displaystyle\frac{3}{2}R(T - 3T_0) = \frac{3}{2}(PV - 3P_0V_0) = -\frac{3P_0}{V_0}(V - 2V_0)^2 + \frac{3}{2}P_0V_0$

(2)
C→Aにおける吸熱
$Q(V) = W(V) + {\it \Delta}U = -\displaystyle\frac{2P_0}{V_0}\left(V - \frac{5}{2}V_0\right)^2 + \frac{9}{2}P_0V_0$

$V_0{\rm ～}\displaystyle\frac{5}{2}V_0$ で吸熱 $Q_{\rm in\{CA\}} = \displaystyle\frac{9}{2}P_0V_0$
$\displaystyle\frac{5}{2}V_0{\rm ～}3V_0$ で放熱 $Q_{\rm out\{CA\}} = \displaystyle\frac{1}{2}P_0V_0$

A→B において、 $Q_{\rm out\{AB\}} = \displaystyle\frac{5}{2}R\cdot 2T₀ = 5P_0V_0$
B→C において、 $Q_{\rm in\{BC\}} = \displaystyle\frac{3}{2}R\cdot 2T₀ = 3P_0V_0$

１サイクルにおける熱収支は
$Q_{\rm in} = Q_{\rm in\{CA\}} + Q_{\rm in\{BC\}} = \displaystyle\frac{15}{2}P_0V_0$
$Q_{\rm out} = Q_{\rm out\{CA\}} + Q_{\rm out\{AB\}} = \displaystyle\frac{11}{2}P_0V_0$

したがって、熱効率は
$e = \displaystyle\frac{Q_{\rm in} - Q_{\rm out}}{Q_{\rm in}} = \frac{15 - 11}{15} = \frac{4}{15}$
となる。