糸でつながれた点電荷の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

OKWave>http://okwave.jp/qa/q5633608.htmlのQ&Aより。糸でつながれた点電荷の最大速さを求める問題。出題者は，束縛条件を考慮したのだろうか？

【問題】
質量 $m$ ，電荷 $q$ を持ち，大きさが無視できる小球３個が，軽くて伸びない長さ $l$ の絶縁性の糸で連結され、正三角形を形成している。糸の一本を焼き切って自由に運動させたとき，それぞれの小球の最大速さを求めよ。ただし，重力や摩擦の影響は無視できるものとし，クーロン定数を $k_0$ とする。

※　Algodooの設定は， $m=0.10{\rm kg}\;,\;k_0q^2=0.010{\rm Nm}^2\;,\;l=1.0{\rm m}$ である。リターンキー（Enter）で糸が切れる。
※　B，Cの小球については解析的には解けないように思える。

【解答】

重心を原点にとってCの座標を $(x,y)$ とおくと，Aの座標は $(0,-2y)$ であるから，エネルギー保存により，

$2\times\displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{1}{2}m(2\dot{y})^2 = k_0q^2\left(\frac{1}{l}-\frac{1}{2x}\right)$

$\therefore \dot{x}^2 + 3\dot{y}^2 = \displaystyle\frac{k_0q^2}{m}\left(\frac{1}{l} - \frac{1}{2x}\right)$

となる。束縛条件は，

$x^2 + 9y^2 = l^2$

時間微分して

$x\dot x + 9y\dot y = 0$

以上から， $\dot x$ および $\dot y$ を $x$ または $y$ の関数として表すことができる。計算はかなり煩雑で，Cが $(x,y)$ にあるときの速さ２乗は

$\dot x^2 = \displaystyle\frac{3k_0q^2}{2ml}\cdot\frac{(2x-l)(l^2-x^2)}{x(3l^2-2x^2)}$

$\dot y^2 = \displaystyle\frac{k_0q^2}{6ml}\cdot\frac{x(2x-l)}{3l^2-2x^2}$

$\dot x^2 + \dot y^2 = \displaystyle\frac{k_0q^2}{6ml}\cdot\frac{(2x-l)(9l^2-8x^2)}{x(3l^2-2x^2)}$

となる。Aの速さ $2\dot y$ は， $x=l$ で最大値

$V_{\rm max} = \sqrt{\displaystyle\frac{2k_0q^2}{3ml}}$

をとるが，BとCの速さ $v=\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}$ は $x\simeq 0.83l$ で最大となる。計算はかなり煩雑で， $v^2$ の $x$ による微分をとっても因数分解ができず，４次方程式を解くことになる。この煩雑さから考えるに，出題者は束縛条件を考慮していないのではないかという疑義が生じる。

Mathcadによる数値積分結果

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=348&file=OKW5633608.phz

（初稿：2010/01/30）