楕円の転がり運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

一見単純に見えて解析が困難な運動は多数あるが、これはそのひとつといえるだろう。断面が楕円形の板が水平面を滑らずに転がる運動である。もう少しエレガントな手法があるかもしれないが、とりあえずパラメーターを用いた軌跡を束縛条件として取り込む方法をとってみた。

重心軌跡のパラメーター表示と運動方程式

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左図の状態から初速度を与えて、水平面を滑ることなく転がる運動を解析する。数学的準備として、重心 G の軌跡を求めておく。下記を参考にした。
http://izumi-math.jp/M_Matumoto/korogaru2jikyokusen.pdf

楕円をパラメーター $\alpha$ を用いて

$\xi = b\sin\alpha$
$\eta = a - a\cos\alpha$

とする。 $\alpha$ で微分すると、

$\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}\alpha} = b\cos\alpha$
$\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}\alpha} = a\sin\alpha$

だから、 $\xi$ 軸に対する $(\xi, \eta)$ における接線のなす角 $\theta$ に対して

$\tan\theta = \displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{a}{b}\tan\alpha$
$\cos\theta = \displaystyle\frac{b\cos\alpha}{r},\qquad \sin\theta = \displaystyle\frac{a\sin\alpha}{r}$

となる。ただし、

$r = \sqrt{a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha}$

とおいた。

また、原点O'から $(\xi,\eta)$ までの周長 $s$ は

$s = \displaystyle\int\sqrt{{\rm d}x^2 + {\rm d}y^2} = \int_0^\alpha r {\rm d}\alpha$

である。

$(b\sin\alpha, a-a\cos\alpha)$ に原点を移すと、重心G $(0,a)$ は $(-b\sin\alpha,a\cos\alpha)$ に移動する。新しい原点周りに $\theta$ 回転し、 $x$ 方向に $s$ だけ平行移動すると、パラメーター $\alpha$ に対する位置 $(x,y)$ が得られる。

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\,\,\,\,\,\cos\theta\,\,\,\sin\theta\\-\sin\theta\,\,\,\cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -b\sin\alpha \\ a\cos\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix} \\ \qquad = \displaystyle\frac{1}{r}\begin{pmatrix}\,\,\,\,\,b\cos\alpha\,\,\,a\sin\alpha\\-a\sin\alpha\,\,\,b\cos\alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -b\sin\alpha \\ a\cos\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}$

一方右図のようにおけば、 $\theta$ 転がって重心Gが $(x,y)$ に移動したときの運動方程式は、

$m\ddot{x} = F$
$m\ddot{y} = N - mg$
$I\ddot{\theta} = NX - Fy$

ただし、
$X = x - s$
$I = \displaystyle\frac{1}{4}m(a^2+b^2)$

となる。

運動の自由度は１であるから、以後の方針としては以上から $N,F$ を消去し、 $\alpha$ を一般化座標とする運動方程式に一本化することである。

運動方程式の一本化

上の結果を書き下ろせば、

$x = \displaystyle\frac{a^2-b^2}{2r} \sin2\alpha + s$
$\qquad X = x-s = \displaystyle\frac{a^2-b^2}{2r} \sin2\alpha$
$y = \displaystyle\frac{ab}{r}$
$\tan\theta = \displaystyle\frac{a}{b}\tan\alpha$

時間微分して

$\dot{x} = \left(r - \displaystyle\frac{X^2}{r} + \frac{a^2-b^2}{r}\cos2\alpha\right)\dot{\alpha}$
$\dot{y} = -\displaystyle\frac{Xy\dot{\alpha}}{r}$
$\dot{\theta} = \displaystyle\frac{y\dot{\alpha}}{r}$

ただし、できる限りコンパクトな記述になるように、 $X$ や $y$ を用いた。

さらに時間微分して $N,F$ を消去して一本化した運動方程式

$\displaystyle\frac{1}{4}m(a^2+b^2)\ddot{\theta} = m(\ddot{y}+g)X - m\ddot{x}y$

に代入すれば、 $\alpha$ に対する運動方程式が得られる。その計算過程は長い道のりになるが、数値積分しやすく変形した次の結果だけ書いておく。

$\ddot{\alpha} = \displaystyle\frac{B}{A}$
$A = \left(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{4r} + r + \frac{a^2-b^2}{r}\cos 2\alpha\right)y$
$B = \displaystyle\frac{(a^2+b^2)Xy{\dot{\alpha}}^2}{2r^2} + \frac{X^3y{\dot{\alpha}}^2}{r^2} + \frac{Xy\dot{X}\dot{\alpha}}{r} + gX + 3Xy{\dot{\alpha}}^2 - \frac{(a^2-b^2)Xy{\dot{\alpha}}^2\cos 2\alpha}{r^2}$