偏心軸で斜面をすべる円板 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

鉛直に立てた２枚の三角板にはさまれた円板が，偏心軸で三角板の斜辺にぶらさがってすべる運動について。T大学工学部の院試の過去問だが，Algodooシミュレーションによってその「不備」が浮かび上がった。
Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1373599348　より。

【問題】抜粋

　
図のように，２枚の合同な三角平板が重ねて鉛直に固定され，そのすきまにはさまれた質量 $m$ ，半径 $a$ の円板が，中心から $h$ だけ離れた太さと質量が無視できる垂直軸によって，傾角 $\theta$ の三角板の斜辺にぶらさがって摩擦なくすべりおりる。

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軸とともに運動する座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ において円板が静止するような特別な条件ですべっている場合，
(1) 軸が斜面から受ける抗力の大きさを $R$ として，慣性系 $(x,y)$ において円板の重心Oの $x$ 方向， $y$ 方向の運動方程式を立てよ。
(2) 軸が受ける抗力の大きさ $R$ を求めよ。
次に軸まわりの円板の微小振動を考える。
(3) 振動の周期 $T$ を求めよ。ただし，軸の加速度の変化は無視し，軸まわりの円板の慣性モーメントを $I$ とせよ。

【解答】

(1)
$m\ddot{x} = -R\sin\theta$
$m\ddot{y} = R\cos\theta - mg$

(2)
束縛条件
$\displaystyle\frac{\ddot{y}}{\ddot{x}} = \tan\theta$
に(1)の結果を用いて，
$\displaystyle\frac{R\cos\theta - mg}{-R\sin\theta} = \tan\theta$
$\therefore R = mg\cos\theta$
座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ から見ると，慣性力を含む力のつり合いおよび力のモーメントのつり合いにより，円板の加速度は $g\sin\theta$ であり，AOは斜面に垂直であることがわかる。
(3)
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座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ における慣性力を含む「みかけの重力加速度」は，斜面に垂直に $g\cos\theta$ である。
円板の重心と軸を結ぶAOの，座標系 $(x^\prime,y^\prime)$ における上記の「静止位置」からの微小角変位を $\phi$ とすると，軸まわりの回転の運動方程式は，
$I\ddot{\phi} = -mg\cos\theta\times h \phi$
となり，微小振動の周期
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I}{mgh\cos\theta}}$
を得る。
$I = \displaystyle\frac{1}{2}ma^2 + mh^2$
を用いると，
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{a^2 + 2h^2}{2gh\cos\theta}}$
となる。
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と，ここまで解いてAlogodooでシミュレートしてみた。すると，どうしても周期が合わない。たいていシミュレーション結果が合わない場合は，計算ミスであることが多いが，精査してもミスはみつからない。そのうち，シミュレーションによる周期は
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I_0}{mgh\cos\theta}}$
であることに気づいた。ここに，
$I_0 = \displaystyle\frac{1}{2}ma^2$
は，円板の重心まわりの慣性モーメントである。
そして，問題の展開をよくよく追跡してみると，このくいちがいは問題そのものの「不備」によって生じたものであることがわかった。実際は，軸の加速度は変化しなければならず，加速度が変化しないのは重心Oの（斜面方向成分の）方である。したがって，回転の運動方程式は重心まわりに立てなければならず，用いるべき慣性モーメントは $I_0$ となるのである。
軸の加速度を変化しないものとする「近似」をとるのであれば，軸の質量は無視するのではなく，円板より十分大きいとすべきであった。そうすれば，
斜面をすべる実験室内の振子 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
でも論じたように，斜面を等加速度ですべる実験室内に「固定」された軸まわりの微小振動を考えることができ，その場合には軸まわりの慣性モーメント $I$ が使えることになる。Algodooによるシミュレーションでも，軸の質量を十分大きくとってやると，周期は(3)の結果に一致を見たのである。
軸の質量を無視したことと，(3)において軸の加速度の変化を無視できるとしたことは，互いに矛盾する「簡略化」であり，無茶な題意に踏み込んでいると言わざるを得ない。
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あらためて運動方程式を立ててみる。斜面下方を $x$ 方向，斜面に垂直上方を $y$ 方向とする。重心の運動方程式は，
$m\ddot{x} = mg\sin\theta$
$m\ddot{y} = R - mg\cos\theta$
重心まわりの回転の運動方程式は，角変位 $\phi$ を微小であるとして
$I_0\ddot{\phi} = -Rh\phi$
ここで
$R = mg\cos\theta$
で一定であるとするのは， $y$ 方向の加速度が小さいことから許される近似であろう。すると，微小振動の周期は
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I_0}{mgh\cos\theta}}$
となる。密度一様な円板では，
$T = \displaystyle\frac{2\pi a}{\sqrt{2gh\cos\theta}}$
を得る。Algodooシーンの設定は，
$a = 10$ [m], $h = 6$ [m], $\theta = \pi/3$
で，理論値は8.2sec. シミュレーション値は8.1sec. であった。また，軸の質量を円板に比べて十分大きくすると，理論値は10.7sec. シミュレーション値は10.9sec.であった。

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（初稿：2011/10/19）