平行軸の定理 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「物理のかぎしっぽ」のQ&Aから
円柱(質量 $M$ ，半径 $r$ ，高さ $h$ )の側面に垂直な中心軸まわりの慣性モーメント

(1) 円板の中心を通り円板に平行な軸に関する慣性モーメントは， $(1/4)mr^2$
(2) 平行軸の定理　 $I=I_C+M{R_G}^2$
ただし， $I_C$ は重心まわりの慣性モーメント、 $M$ は剛体の質量， $R_G$ は軸から重心までの距離

を用いる。
円柱の重心を原点として軸方向に $x$ 軸をとる。
座標 $x$ において円柱を輪切りにして得られる厚さ $dx$ の円板について，質量 $dm=Mdx/h$ として，慣性モーメントは
$dI = \displaystyle\frac{1}{4}dm\cdot r^2 + dm \cdot x^2$
したがって，円柱全体について積分すれば
$I = \displaystyle\frac{M}{h} \int_{-h/2}^{h/2} \left(\frac{1}{4}r^2+x^2\right)dx = M\left(\frac{1}{4}r^2+\frac{1}{12}h^2\right)$
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「平行軸の定理」は，こんなふうにこそ使うのだといまさらながら認識を新たにした。
定理右辺の第1項は重心まわりの自転の慣性，第2項は回転軸まわりの公転（重心運動）の慣性を意味している。
（初稿：2008/11/27）