自由落下と鉛直投げ上げ - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】

床からの高さ $h$ にある小球Aが自由落下をはじめるのと同時に，床から小球Bを鉛直上方に速さ $v$ で投げ上げる。重力加速度の大きさを $g$ とする。
(1) 両者が衝突するまでの時間と，衝突位置の高さを求めよ。
(2) Bが最高点でAに衝突するための初速 $v$ を求めよ。

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【解答】自由落下と鉛直投げ上げ

(1)
床から鉛直上方へ $y$ 軸をとり，時間 $t$ の後のA,Bの座標を $y_A,y_B$ とすると，
$y_A = h - \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$
$y_B = vt-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2$
$y_A = y_B$ より，衝突までの時間は，
$t = \displaystyle\frac{h}{v}$
したがって，衝突位置の高さは，
$y = h - \displaystyle\frac{1}{2}g\left(\frac{h}{v}\right)^2$
以上が標準的な解き方であるが，Aとともに自由落下する実験室で見れば，無重力の下，Bが速さ $v$ の等速でAに近づく運動となるから，ただちに
$t = \displaystyle\frac{h}{v}$
である。
シミュレーションでは，静止した実験室とともに，自由落下する実験室を設定してみた。カメラ追跡の設定をすれば，自由落下する実験室内でのBの等速度運動が観察できる。

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(2)
Bが最高点となる時刻は，
$v - gt = 0$
より，
$t = \displaystyle\frac{v}{g}$
(1)の結果から
$\displaystyle\frac{h}{v} = \frac{v}{g} \qquad \therefore v = \sqrt{gh}$
となる。

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Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=193&file=relativity.phz

（初稿：2009/11/21）