水の入ったV字管つき台車 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

OKWave>http://okwave.jp/qa/q5619907.html　のQ&Aより。台車に固定されたV字管内の水の運動に伴う台車の運動。

【問題】

細いV字管が総質量 $M=\alpha m$ の台車の上に動かないように固定され，左右とも水平面から角 $\theta$ をなしている。V字管の左半分の長さ $l$ が質量 $m$ の水で満たされ，中央の栓でせき止められている。全体が静止している状態から栓を開くと，台車は左へ動き出す。水柱長の中心の位置が最も低くなった時の台車の速さを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とし，摩擦や抵抗は無視できるものとする。

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※　Algodooシーンでは，水の代わりに，くさりを用いた。
設定は， $M=120{\rm kg} , m=40{\rm kg} , l=19{\rm m} , \theta=\pi/6$ である。
リターンキー（Enter）で，栓が開いて動き出す。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=337&file=OKW5619907.phz

【解答】

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求める台車の速さが $V$ のとき，水の水平速度成分の大きさ $v_x$ ，鉛直速度成分の大きさ $v_y$ とすると，
エネルギー保存により，
$\displaystyle\frac{1}{4}mgl\sin\theta = \frac{1}{2}m({v_x}^2+{v_y}^2) + \frac{1}{2}MV^2\qquad (1)$
水平方向の運動量保存により，
$0 = mv_x - MV \qquad (2)$
台車に対する水の相対速度が水平方向から角 $\theta$ の方向であるから，
$v_y = (v_x+V)\tan\theta \qquad (3)$
(2)(3)より
$v_x = \displaystyle\frac{MV}{m} = \alpha V \quad , \quad v_y = (\alpha + 1)V\tan\theta$
これらを(1)に代入して， $V$ について解くと，
$V = \sqrt{\displaystyle\frac{gl\sin\theta}{2(\alpha + 1)\{\alpha + (\alpha + 1)\tan^2\theta\}}}$
を得る。ポイントは，水の速度方向はあくまで台車から見て水平方向から $\theta$ だということである。

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（初稿：2010/01/25）