支点位置による棒振り子の周期変化

剛体の回転・角運動量保存 振動

質量 m、長さ l で太さが無視できる一様な棒を、一端からの長さ x の位置に水平回転軸をとって鉛直面内で振り子にする。微小振動の周期を求めてみよう。

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回転軸まわりの慣性モーメント
I=\displaystyle\frac{1}{12}ml^2 + m\left(\frac{l}{2} - x\right)^2

微小振動の運動方程式
I\ddot\theta = -mg\left(\displaystyle\frac{l}{2} - x\right)\theta

により、角振動数
\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{1/2-\alpha}{1/12+(1/2-\alpha)^2}\cdot\frac{g}{l}}
および周期
T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{1/12+(1/2-\alpha)^2}{1/2-\alpha}\cdot\frac{l}{g}}
を得る。ただし、
\alpha=\displaystyle\frac{x}{l}

周期は、
x = \displaystyle\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}} l \simeq 0.21 l
のとき最小値をとる。
また、x=l/3 のとき、端点を軸とした x=0 の場合と周期が一致することがわかる。

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