中空円筒と円柱の微小振動

剛体の回転・角運動量保存 振動 ラグランジュ方程式

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1068163460より。中空円筒内をころがる円柱の微小振動。円筒を固定した場合と固定しない場合。

【問題】

質量 M，半径 R で厚さが無視できる中空円筒が水平面上に軸を水平にして置いてある。その中に質量 m ，半径 r\,\,(\lt R) の一様な円柱を入れ，図のような変位を与えて放した後の微小振動を考える。円柱および円筒の運動はいずれも，すべらずに転がる運動とする。重力加速度の大きさを g とする。

(1)　中空円筒を固定した場合，円柱の微小な転がり振動の周期を求めよ。

(2)　中空円筒が水平面上を自由に転がるようにした場合，同様の微小な転がり振動の周期を求めよ。

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Algodooシーンのダウンロード
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/514/1114/Circle-in-Ring.phz

【解答】

(1)

下図のように円柱重心の最下点からの角変位を \theta，円筒との接点を基準とした回転角を \phi とする。

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ラグランジアンは，

L = \displaystyle\frac{1}{2}m(R - r)^2\dot\theta^2 + \frac{1}{2}I(\dot\phi - \dot\theta)^2 + mg(R-r)\cos\theta

ここに，I は円柱の慣性モーメント

I = \displaystyle\frac{1}{2}mr^2

である。また，すべらずに転がる条件は，

R\theta = r\phi

となる。

\phi を消去し，微小角近似した上で，ラグランジアンの定数項および定数因子を省いて

L = \displaystyle\frac{3}{4}(R - r)\dot\theta^2 - \frac{1}{2}g\theta^2

微分して得られる円柱の運動方程式は

\ddot\theta = -\displaystyle\frac{2g}{3(R-r)}\cdot\theta

したがって，角振動数と周期は，

\omega = \displaystyle\sqrt{\frac{2g}{3(R - r)}}\quad,\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac {3(R - r)}{2g}}

となる。

(2)

下図のように，つり合い位置で鉛直下方となる半径を基準とした角変位 \alpha をとる。
また，\theta,\phi は(1)と同様にとる。

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ラグランジアンは，

L = \displaystyle\frac{1}{2}m \left\{ (R -r)\dot\theta - R\dot\alpha \right\}^2 + \frac{1}{2}I (\dot\phi - \dot\theta)^2 + MR^2\dot\alpha^2 + mg(R-r)\cos\theta

すべらずに転がる条件から

r\phi = R(\theta - \alpha)

水平方向の運動量保存により，

m\{ (R -r)\dot\theta - R\dot\alpha \} - MR\dot\alpha = 0

微小角近似した上で，ラグランジアンの定数項および定数因子を省いて

L = (R - r)\dot\theta^2\cdot\displaystyle\frac{M(3M + 4m)}{ 4(M + m)^2 } - \frac{1}{2}g\theta^2

微分して得られる運動方程式は，

\ddot\theta = -\displaystyle\frac{2(M+m)^2g}{M(3M+4m)(R-r)}\cdot\theta

したがって，角振動数および周期は，

\omega = \displaystyle\sqrt{\frac{2(M + m)^2g}{M(3M + 4m)(R - r)}}\quad,\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{M(3M + 4m)(R - r)}{2(M + m)^2g}}

となる。

Algodooの設定は，M=1200 [kg], R=100 [m], m=600 [kg], r=10 [m]　である。例によって精度を上げるために巨大化した。

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（初稿：2011/08/07）