すべり台と壁を往復する小球

衝突・運動量保存

琉球大'05 改題。水平面を自由に動くすべり台から小球がすべりおりて，壁と弾性衝突をし，すべり台と壁の間を往復運動する問題。

質量 m の小球が，水平面に静止した高さ h，質量 M=\alpha m\quad(\alpha \gt 1) のすべり台から静かにすべりおりる。その後小球は壁と弾性衝突をしてはねかえり，左向きに動いているすべり台を追いかける。重力加速度の大きさを g とし，摩擦や衝突による力学的エネルギーの散逸はないものとする。

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(1) 小球がすべり台を離れたときの両者の速さを求めよ。
(2) 壁にはねかえった小球が，再度すべり台を上るときの最高点の高さを求めよ。
(3) 小球が壁に２回めの衝突をして，再度すべり台に追いつくための \alpha の条件を求めよ。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=247&file=Ryukyu05.phz

【解答】

(1)

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求める小球およびすべり台の速さを v_0,V_0 とおくと，運動量保存により

0 = mv_0 - MV_0 \qquad \therefore V_0 = \displaystyle\frac{v_0}{\alpha}

また，エネルギー保存により，

mgh = \displaystyle\frac{1}{2}m{v_0}^2 + \frac{1}{2}M{V_0}^2 = \frac{1}{2}m{v_0}^2\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)

したがって，両式より

v_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{\alpha\cdot 2gh}{\alpha+1}}, \qquad V_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{2gh}{\alpha(\alpha+1)}}

(2)

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小球が最高点に上がったときの両者の速さを V とおくと，運動量保存により

MV_0 + mv_0 = (M+m)V \quad {\rm i.e.}\quad 2v_0 = (\alpha+1)V \quad \therefore V = \displaystyle\frac{2v_0}{\alpha+1}

求める高さを l とおくとエネルギー保存により，

mgh = \displaystyle\frac{1}{2}(M+m)V^2 + mgl\qquad \therefore l = h - \frac{2v_0^2}{g(\alpha+1)} = \left(\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\right)^2\;h

(3)

再度小球がすべり台を離れるときの，小球およびすべり台の速さを v_1,V_1 とおくと，運動量保存により

MV_0 + mv_0 = MV_1 - mv_1 \qquad {\rm i.e.} \quad 2v_0 = \alpha V_1 - v_1

また，力学的エネルギー保存より両者の相対速さは変化しないから（はねかえり係数=1），

v_0 - V_0 = v_1 + V_1

両式から，

v_1 = \displaystyle\frac{\alpha - 3}{1 + \alpha}\;v_0 ,\quad V_1 = \frac{3\alpha - 1}{\alpha(\alpha+1)}\;v_0

再び小球がすべり台に追いつく条件は，

v_1 - V_1 \gt 0

すなわち，

\displaystyle\frac{\alpha-3}{\alpha+1} - \frac{3\alpha-1}{\alpha(\alpha+1)} \gt 0

これを解いて，

\alpha \gt 3+2\sqrt{2}

※ Algodoo の設定は，m=1000[kg],\alpha=10,h=100[m]。精度をよくするために巨大化した（特にすべり台=ポリゴンのすべり損失をおさえる効果あり）。

（初稿：2009/12/10）