台車上の円柱面を上る小球

衝突・運動量保存 相対運動

これも，かつてJavaでつくったシーンの再現。台車に乗り移った小球が円柱面を上る。

【問題】

図のように半径 R の円柱面をもつ質量 M の台車に，質量 m(\lt M) の小球がある初速度をもって乗り移る。重力加速度の大きさを g とし，摩擦や抵抗は無視できるものとする。

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(1) 小球が台車の最上点（円柱面の中心の高さ）までちょうど上るために必要な初速を求めよ。

(2) (1)が成立するとき，円柱面を降りた小球が台車を離れた直後の，小球と台車の速さを求めよ。

※Algodooの設定は，R=40 [m], M=3m。
www.youtube.com

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=219&file=Ashika.phz

【解答】

(1)

求める初速度 v，小球が最高点に達したときの台車の速さを V とすると，運動量保存およびエネルギー保存により

mv = (M+m)V
\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2+mgR

両式より V を消去して，

v = \sqrt{\displaystyle\frac{2(M+m)gR}{M}}

(2)

求める小球および台車の速さを v^\prime,V^\prime とおくと，運動量保存およびエネルギー保存により，

mv = MV^\prime - mv^\prime \qquad {\rm i.e.}\quad v = \displaystyle\frac{M}{m}V^\prime - v^\prime
1 = \displaystyle\frac{V+v^\prime}{v} \qquad {\rm i.e.}\quad v = V^\prime+v^\prime

後者ははね返り係数=1を用いた。したがって，

V^\prime = \displaystyle\frac{2m}{M+m}\cdot v = 2m\sqrt{\frac{2gR}{M(M+m)}},\quad v^\prime = \frac{M-m}{M+m}\cdot v = (M-m)\sqrt{\frac{2gR}{M(M+m)}}

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※　Algodooの設定では，M=3m であるから，v^\prime=V^\prime となる。

（初稿：2009/11/29）